Marshallsche Nachfragefunktion finden

Question

Folgende Nutzenfunktion ist gegeben: $$x_1^ax_2^{1-a}$$

Das Einkommen beträgt: $$p_1x_1 + p_2x_2 = y$$

Wie findet man hier die Marshallsche Nachfragefunktion?

Ich habe es mit Langrage versucht, allerdings erhalte ich dabei eine Riesen-Gleichen, die viel zu komplex aussieht.

Geht es vielleicht auch einfacher?

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Marshallsche_Nachfragefunktion

schon gelesen ?

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Ja, es bringt mich leider nicht wirklich weiter...

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So weit bin ich gekommen:

$$L = x_1^ax_2^{1-a} - \lambda(p_1x_1 + p_2x_2 - y)$$

partielle Ableitung nach \( x_1 \) und 0-setzen:

$$\frac{\delta L}{\delta x_1} = ax_1^{a-1}x_2^{1-a} - \lambda p_1 = 0$$

partielle Ableitung nach \( x_2 \) und 0-setzen:

$$\frac{\delta L}{\delta x_2} = x_1^a(1-a)x_2^{-a} - \lambda p_2 = 0$$

Ableitung 1 umformen:

$$ax_1^{a-1}x_2^{1-a} = \lambda p_1$$

nach \( \lambda \) freistellen

$$\frac{ax_1^{a-1}x_2^{1-a}}{p_1} = \lambda$$

Ableitung 2 umformen:

$$x_1^a(1-a)x_2^{-a} = \lambda p_2 $$

nach \( \lambda \) freistellen:

$$\frac{x_1^a(1-a)x_2^{-a}}{p_2} = \lambda$$

Beide gleichungen gleichsetzen:

$$\frac{ax_1^{a-1}x_2^{1-a}}{p_1} = \frac{x_1^a(1-a)x_2^{-a}}{p_2}$$

Ich weiß leider nicht, ob es bis hierher richtig ist. Auch macht mir die Gleichung am Ende etwas Angst. Ich müsste jetzt nach \( x_1 \) freistellen, das Ergebnis dann in die Budgetbeschränkung \( p_1x_1 + p_2x_2 - y=0\) einsetzen und das anschließende Ergebnis wieder irgendwo einsetzen.

Das Freistellen nach \( x_1 \) sieht sehr kompliziert aus, gibt es keinen einfacheren Weg?

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Unabhängig von der alternativen Lösung hier mal das "grosse Problem" in "kleinen Schritten" :

$$ \frac{ax_1^{a-1}x_2^{1-a}}{p_1} = \frac{x_1^a(1-a)x_2^{-a}}{p_2} $$
$$ \frac{p_2 \cdot a \cdot x_2^{1-a}}{p_1} = \frac{x_1^a}{x_1^{a-1}} \cdot (1-a)x_2^{-a} $$
$$ \frac{p_2 \cdot a \cdot x_2^{1-a}}{p_1} = \frac{x_1^a}{x_1^{a} \cdot {x_1^{-1}}} \cdot (1-a)x_2^{-a} $$
$$ \frac{p_2 \cdot a \cdot x_2^{1-a}}{p_1} = \frac{1}{1 \cdot \frac 1{x_1^{1}}} \cdot (1-a)x_2^{-a} $$
$$ \frac{p_2 \cdot a \cdot x_2^{1-a}}{p_1} = {x_1^{1}} \cdot (1-a)x_2^{-a} $$
$$ \frac{p_2 \cdot a \cdot x_2^{1-a}}{p_1} = {x_1} \cdot (1-a)x_2^{-a} $$
$$ \frac{p_2 \cdot a \cdot x_2^{1-a}}{p_1 \cdot (1-a)x_2^{-a}} = {x_1} $$
$$ \frac{p_2}{p_1 } \cdot  \frac{ a}{ (1-a)} \cdot  \frac{ x_2^{1-a}}{ x_2^{-a}} = {x_1} $$
$$ \frac{p_2}{p_1 } \cdot  \frac{ a}{ (1-a)} \cdot  \frac{ x_2^{-a}}{ x_2^{-a}} \cdot x_2= {x_1} $$
$$ \frac{p_2}{p_1 } \cdot  \frac{ a}{ (1-a)} \cdot   x_2= {x_1} $$

sieht monstrig aus, ist aber eigentlich nicht wirklich sooo schlimm!

Answer 1

Schau dir folgendes mal an und versuche es Schritt für Schritt nachzuvollziehen. Bei gefundenen Fehlern bitte Rücksprache halten. Ich habe das mal ganz allgemein mit den Exponenten a und b gemacht sowie den Preisen p und q.

Nutzenfunktion U(x, y) = x^a·y^b

Preis für x ist p

Preis für y = q

Budget m

Nebenbedingung: p·x + q·y = m

y = m/q - p/q·x

Lagrange Funktion: L = x^a·y^b - k·(p·x + q·y - m)

dL / dx = a·x^{a - 1}·y^b - k·p = 0 | NB einsetzen

a·x^{a - 1}·(m/q - p/q·x)^b - k·p = 0

k = a·x^{a - 1}·(m/q - p/q·x)^b/p

dL / dy = x^a·b·y^{b - 1} - k·q = 0 | NB und k einsetzen

x^a·b·(m/q - p/q·x)^{b - 1} - (a·x^{a - 1}·(m/q - p/q·x)^b/p)·q = 0

x = a·m/(p·(a + b))

y = m/q - p·x/q

y = m/q - p·(a·m/(p·(a + b)))/q

y = b·m/(q·(a + b))