Geben Sie die Mantelfläche in Abhängigkeit von r und h an. Benutzen Sie zur Berechnung das totale Differential.

Question

Aufgabe:

Das Dach eines Turmes habe die Form eines Kegels mit einem Radius \( \mathrm{r}=8 \mathrm{~m} \) und einer Höhe \( \mathrm{h}=6 \mathrm{~m} \) wobei Messfehler von \( \Delta \mathrm{r}=\Delta \mathrm{h}=5 \mathrm{~cm} \) anzunehmen sind. Für die Beschichtung des Daches berechne man die Mantelfläche \( A_{M} \) und den Fehler \( \Delta A_{M} \) bei Fehlerfortpflanzung.

Hinweis 1: Geben Sie die Mantelfläche \( \mathrm{A}_{\mathrm{M}} \) in Abhängigkeit von \( \mathrm{r} \) und \( \mathrm{h} \) an.

Hinweis 2: Benutzen Sie zur Berechnung das totale Differential.

Answer 1

Hi,
die Mantelfläche berechnet sich zu \( A_M(r,h) = r \cdot  \sqrt{r^2 + h^2} \cdot \pi  \) siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Kegel_%28Geometrie%29
woamit Teil 1 erledigt ist.
Für die Fehlerfortpflanzung ergibt sich
$$ A_M(r+\Delta r, h + \Delta h) \approx A_M(r,h) + \frac{\partial}{\partial r}A_M(r,h) \cdot \Delta r + \frac{\partial}{\partial h}A_M(r,h) \cdot \Delta h  $$
Da die Fehler \( \Delta r \) und \( \Delta h \) sehr groß sind, ist auch die Fehlerabschätzung 1'-ter Ordnung sehr ungenau. Es gilt \( \left| A_M(r+\Delta r, h + \Delta h) - \left( A_M(r,h) + \frac{\partial}{\partial r}A_M(r,h) \cdot \Delta r + \frac{\partial}{\partial h}A_M(r,h) \cdot \Delta h  \right)  \right|  \) = 111.156