A invariante Untervektorräume zu gegebener Matrix A aufstellen

Question

Ich soll für eine 3x3 Matrix A über einen Körper K Alle Untervektorräume vom K^3 bestimmen, die A invariant sind.

$$A= \begin{pmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{pmatrix}$$

Dass dieser UVR  A invariant sein muss heißt, folgende Beziehung muss gelten:

$$ A(U) \subseteq U$$

Jedes x in U, lässt sich schreiben als $$x=\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix} $$

für diese a,b.c muss nun gelten, dass x in U liegt also

$$Ax= \begin{pmatrix} 0\\a\\b\end{pmatrix} \overset{!}{\in}U$$

Da erkennt man ja sofort dass dies für die UVR {0} und K^3 gilt.

Wie kann man denn die UVR dazwischen aufstellen?

Comments

Ich würde noch mal über das \(Ax\) nachdenken...

Answer 1

Die Ergebnisse von A*x sind  doch ( 0 ; b ; a) also alle Vektoren mit 1. Komponente 0

Damit U invariant ist, darf x in der ersten Komponente nix anderes als 0 haben,

wäre das dann nicht U = { (o;y;z) mit y,z aus R }  ??

Answer 2

seltsamer weise bin ich gerade bei einer sehr ähnlichen Aufgabe.
Für eindimensionale invariante Vektorräume musst du nur die Eigenvektoren zu A finden.
für die 2 dimensionalen invarianten Vektorräume habe ich den Ansatz, dass sowohl bei (0,a,b)
oder auch (0,b,a) es anscheinend sehr offensichtlich ist, dass in die erste Dimension unmöglich abgebildet werden kann. Ich bin nur noch unschlüssig wie ich beweisen kann dass dies der einzige 2 dimmensionale invariante Vektorraum ist.

Comments

deine letzte Folgerung stimmt nicht,es existiert ein J-Invarianter Untervektorraum mit der Dimension 1 Gruß HHU Student :)

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Sorry ich meinte es kann in die erste Dimension abgebildet werden,nimm  (0,0,1)

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(0,1,1) so jetzt aber

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Da hab ich mich misverständlich ausgedrückt o_o

ich meinte mit 1. Dimension,

dass kein Vektor mit einer x₁ Koordinate abgebildet werden kann,
und desshalb der 2-Dimmensionale Vektorraum ohne diese x₁ Koordiante nur in sich selbst abbilden kann,
Und wenn man die Orginal Matrix

0	0	0
1	0	0
0	1	0

nimmt, dann wird die natürlich in einem 1 dimensionalen Vektorraum abgebildet.

aber das geht jetzt zu sehr ins Detei, Es ist ja mehr die Frage wie man überhaupt auf die 2 Dimensionalen-

invarianten-Vektorräume kommt, und wie viele es davon geben kann bei einer 3 Dimensionalen Matrix.

Ohne vieleicht die Lösung gleich zu benennen ;)