Beweis der De Morganschen' Regeln

Question

Sei M eine Menge und I eine abzählbare nichtleere Menge. Für jeden i ∈ E sei M_i ebenfalls eine Menge.

Zeigen Sie:

1)

$$ M\quad \setminus \quad \left( \bigcap _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } }  \right) =\bigcup _{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) } $$

2) $$ M\quad \setminus \quad \left( \bigcup _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } }  \right) =\bigcap _{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) } $$

Das Problem hierbei ist für mich nicht das grundsätzliche Verständnis der De Morganschen Regeln. Einen Beweis dieser Gleichung könnte ich durchführen:

$$M\quad \setminus \quad (A\cup B)\quad =\quad (M\setminus A)\quad \cap \quad (M\setminus B)$$

Es geht mir vor allen Dingen um das Verständnis der folgenden Schreibweisen:

$$\bigcap _{ i\epsilon I }{ { M }_{ i } } $$ und $$\bigcup _{ i\epsilon I }{ (M\setminus { M }_{ i }) } $$

Wie kann ich diese Schreibweisen verstehen, umformen bzw. lesen?

!

Answer 1

du kennst sicherlich Summen- und Produktzeichen. Die obige Notation ist diesen ähnlich allerdings auf Mengenoperationen ausgerichtet:

Da \(I\) abzählbar ist kann man die Elemente ja durchnummerieren: \( I = \{i_1, i_2, ...\} \)

Dann ist:

$$ \bigcap_{i\in I} M_i :=  M_{i_1} \cap M_{i_2} \cap ... $$

$$ \bigcup_{i \in I} (M \setminus M_i) := (M \setminus M_{i_1}) \cup (M \setminus M_{i_2} ) \cup ... $$

Gruß