Zeigen Sie die De Morganschen Gesetze für Mengen.

Question

Hallo ich brauche dringend Hilfe,

Es seien X, Y ⊆ Z Teilmengen einer Obermenge Z. Das Komplement X^c der Menge X ist in diesem Fall definiert als X^c:= Z \ X. Zeigen Sie die De Morganschen Gesetze für Mengen.

(X ∩ Y)^c   =  X^c ∪ Y^c  

(X ∪ Y)^c =  X^c ∩  Y^c

Answer 1

(X ∩ Y)^c =  X^c ∪ Y^c     und X^c:= Z \ X.

Sei also a∈ (X ∩ Y)^c

<=>  a∈Z  ∧  a∉ X ∩ Y

<=>  a∈Z ∧ ( a∉ X  ∨  a∉ Y )

<=>  (a∈Z ∧  a∉ X ) ∨  (a∈Z ∧ a∉ Y )

<=> a ∈  X^c    ∨    a ∈ Y^c

<=>  a ∈  Xc ∪ Yc          q.e.d.