Wie berechnet Punktfolgen genau? Bsp. Pn= (1 +1/n, 1+1/n) Konvergenz und Divergenz untersuchen

Question

ich soll zwei punktfolgen auf konvergenz bzw. divergenz überprüfen:

Pn= (1 +1/n, 1+1/n)

Qn= (1+1/n, 1-1/n)

wobei n∈ℕ

ich habe es über cauchy folgen probiert, kam aber nicht weiter. kann mir jemand helfen, und mir zeigen wie man sowas macht?

DAnke!

Answer 1

Du darfst hier die Grenzwerte der Komponenten einzeln bilden, ausser du musst erst noch beweisen, dass man das darf. In dem Fall musst du aber genauer angeben, was man voraussetzen darf.

Da bei n → unendlich 1/n gegen 0 geht, kommt P(1|1} und Q(1|1) raus.

Du meinst wahrscheinlich nicht n∉ℕ, sondern n∈ℕ.

Comments

ja klar, hab ich falsch angegeben. und was bedeutet das dann für die folgen? konvergent oder divergent?

kannst du mir vielleicht noch den rechenweg angeben, oder muss ich einfach nur das n gegen unendlich schicken?

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n gegen unendlich schicken genügt eigentlich. Möglich ist, dass du das noch beweisen musst mit Hilfe der Definition von Konvergenz.

A la. Zu zeigen ist: Für alle Epsilon > 0 gibt es ein no so dass für alle n>no der Abstand von Pn und P kleiner als Epsilon ist.

Beweis: Sei ε > 0. Nun bestimmen wir no PnoP = √((1/no)^2 +(1/no)^2) = √(2/no^2) = √2 / no = ε

Also no = √2 / ε    aufgerundet auf eine natürliche Zahl.

no gefunden. qed.

für alle n> √2 / ε    ist der Abstand von P kleiner als das vorgegebene Epsilon.

Bei Q exakt dieselbe Rechnung, da (1/no)^2 = (-1/no)^2