Aufgaben zu Kurvenscharen: f_{k} = k^2·x^3+x^2 ; k ≥ 0.

Question

Betrachte die Kurvenschar. f_k = k²*x^3+x^2    k ≥ 0.

a) Berechne f0 und f₁ .

b) Bestimme die Nullstelle in Abhängigkeit von k.

c) Berechne die Hoch-, Tiefpunkte der Schar.

d) Berechne die Stammfunktion der Schar.

e) Berechne die Flächeninhalt von f₀ und f₁ im Intervall [0;2].

f) Berechne in Abhängigkeit von k den Flächeninhalt im Intervall [1;3]

Ansatz/Problem:

a)

f₀=(k^2)*(0°3)+(0°2)

f₁=(k^2)*(1°3)+(1°2)

Wie geht es weiter???

b)

k^2*x^3+x^2=0

Wie löse ich eine solche Funktion auf???

c)

n.B= f'(x)=0

h.B= f''(x)=0

f'(x)=3k^2*x^2+2x

Wie geht es weiter???

d)

((k^2)*(x^4/4)+(x^3/3))+c

Ist dies als Stammfunktion richtig?

Die Aufgaben E und F verstehe ich leider gar nicht.

Answer 1

a) 

Vereinfachen

f0(x) = x^2

f1(x) = x^3 + x^2

b)

x^2 ausklammern

k^2·x^3 + x^2 = x^2·(k^2·x + 1) = 0 --> x = - 1/k^2 ∨ x = 0

c)

3·k^2·x^2 + 2·x = x·(3·k^2·x + 2) = 0 --> x = - 2/(3·k^2) ∨ x = 0

d) 

Fk(x) = 1/4·k^2·x^4 + 1/3·x^3 + C

e) 

∫ (0 bis 2) x^2 dx

∫ (0 bis 2) (x^3 + x^2) dx

f)

∫ (1 bis 3) (k^2·x^3 + x^2) dx