Extremwertaufgaben: In geradem Kreiskegel mit R = 6 cm und H= 20cm steht Kreiszylinder mit Radius r und Höhe h.

Question

Die Aufgabenstellung ist für mich persönlich extrem schwierig, daher wäre es lieb, wenn ihr mir das erklären könntet. 
Ich danke vorab schonmal.

Aufgabe:

"In einen geraden Kreiskegel mit dem Radius R = 6 cm und der Höhe H= 20cm ist ein Kreiszylinder mit dem Radius r und der Höhe h gestellt. Der eingeschlossene Zylinder soll ein maximales Volumen besitzen.
( Es gilt nach Strahlensatz die Beziehung h/H = R-r/r   ( / < ist hier ein Bruchstrich. )

1.) Weisen sie nach, dass die Funktionsgleichung der Zielfunktion zur Bestimmung des Volumens V_z des Kreiszylinders wie folgt lautet:

V_z(r) = 20 π r² - 10/3 π r³ 

2.) Bestimmen Sie r und h für den Zylinder mit maximalen Volumen

Ich verstehe besonders den Nachweis nicht, ich nehme an, dass die zweite Aufgabe nur aus einsetzen in Ableitungen besteht?
Bitte um Erklärung~

Danke. 

Answer 1

hier hilft eine Skizze einiges weiter!

das Volumen des Zylinders sollte klar sein:

$$ V(r,h) = \pi r^2h $$

Oje die Funktion ist ja von 2 Variablen abhängig, aber keine Sorge:

Für das konkrete Problem gilt die Beziehung (wie du schon geschrieben hast per Strahlensatz, wobei du einen Schreibfehler bei dir drin hast)

$$NB: \frac{h}{H} = \frac{R-r}{R} $$

NB bedeutet hierbei Nebenbedingung. Diese kannst du nun nach \(h\) auflösen und in die Formel für den Zylinder einsetzen. Du kriegst eine Volumenfunktion, die nur noch vom Radius des Zylinders \(r\) abhängig ist. Die Höhe \(H\) und der Radius \(R\) des Kegels sind ja gegeben. Damit kriegst du die Funktion für die Aufgabe 1.  

Zu 2):

Da die Funktion nun nur noch von einer Variablen abhängig ist, kannst du ganz normal mittels der dir bekannten Differentialrechnung \(r \in (0,R) \) bestimmen, bei dem \(V\) maximal wird. Die entsprechende Höhe \(h\) für das maximale Volumen sollte danach auch kein Problem mehr sein.

Gruß

Comments

Wie löse ich genau nach h auf?

Kann ich R wegkürzen?

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In dem du beide Seiten mit \(H\) multiplizierst.....

Kürzen ja aber vernünftig bitte!

Answer 2

Hier meine Herleitung für Aufgabe 1.)

zu 2.)
Dies ist eine Extremwertaufgabe ( wie bekannt )
1.Ableitung bilden und zu 0 setzen

v ( r ) = 20 * r^2 * π - 10/3 * r^3 * π
v ´( r ) = 2 * 20 * r * π - 3 * 10/3 * r^2 * π
2 * 20 * r * π - 3 * 10/3 * r^2 * π = 0
π * ( 40 * r - 10 * r^2 ) = 0
40 * r - 10 * r^2 = 0
r * ( 40 - 10 * r ) = 0
r = 0
und
40 - 10 * r = 0
r = 4

Bei r = 0 wäre kein Kegel vorhanden ( Min-Wert )
für r = 4 ist
h = ( 6 - 4 ) * 20 / 6
h = 40 / 6

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Ich bin mir bei den den letzten 3 Schritten aus 1 unschlüssig... für mich bilden sich von der dritt bis zur vorletzten plötzlich so viele neue Instanzen, dass ich den Überblick verloren habe, wo du die hergenommen hast.
Ich bin mir sicher, dass alles was du gemacht hast ausklammern war, aber es erscheint mir so unlogisch strukturiert, kannst du mich aufklären?

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Ahhh! Du hast im letzten Schritt einfach 20/6 * 6 gerechnet, deswegen ist das 20 - und die 20/6 in 10/3 gekürzt..
Entschuldige, aber wenn ich die Übersicht verliere, dann schau ich in die Röhre, auch im Abi noch, wenn es um sowas geht. ^^

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Ich hätte noch nach einer Zeile den Kommandostrich setzen
können welche Rechenoperation nun angewendet wird
oder einen Kommentar beifügen können. Gut.
Falls bei Rechenschritten Fragen sind dann nur zu.

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Könntest du genau das bitte machen? Das würde echt helfen!

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Hier die Umstellungen