Wert der Leibnizreihe berechnen

Question

Wie berechnet man den Wert der Leibniz-Reihe _n=0∑^∞ (-1)^n /(2n+1) ?

Answer 1

In jedem Tafelwerk steht die bekannte Reihe zur Berechnung von atan(x):

atan(x) = sum (-1)^k*x^{2k+1}/(2k+1),k=0..unendlich  

Da bei Dir x=1 lautet das Ergebnis atan(1)= Pi/4

Comments

Die muss ich aber irgendwie berechnen. Das die Leibnizreihe = arctan(1) ist weiß ich bereits. Von wo weiß ich denn das arctan(1) = pi/4 ist?

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Eigentlich ist die Leibnitz-Reihe bekannt genug als "ein von vielen" Algorithmen für Pi.

Aber es gibt auch noch andere Beweise:  http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm

Gleich unter 1. Arctan-Reihen kann man sehen, dass ein 1/4 (Einheits-) Kreis in kartesischen Koordinaten

lautet die Fläche unterhalb dieser Kreisformel: A/4 = ∫  sqrt(1-x^2) dx von 0 bis 1 = asin(1)/2 = Pi/4

Jeder kennt die Kreisflächenformel: A = Pi * r^2 . Da oben A/4 berechnet wurde, stimmen beide Wege überein:

4 * A/4 = A  oder 4 * Pi/4 = Pi

Oder das Integral ∫ 1/(1+x²) dx , x=0...1 = Pi/4 = atan(1)

Oder rechtwinkl. Dreieck : 45° = Pi/4 rad

tan(x) = sin(x) / cos(x) = sin(Pi/4) / cos(Pi/4) = (sqrt(2)/2) / (sqrt(2)/2) = 1 = tan(Pi/4) | Umkehrfunktion

atan(1) = Pi/4