Question

Aufgabe: Bestimme den Wert der Reihe?

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) \( \frac{1}{n+2} \) -\( \frac{1}{n+1} \)

Problem/Ansatz:

Hallo könnte mir vielleicht jemand helfen. Ich habe versucht den Wert mit der geometrischen Reihe zu bestimmen, dass hat leider nicht geklappt.

Kann mir jemand erklären wie man hier vorgehen muss?

Danke Im Voraus!!

Grüße

Answer 1

Hallo

sowas nennt man "Teleskopreihe", weil man sie zusammenschieben kann!

schreib mal die ersten paar Summanden raus, dann siehst du selbst was passiert, wenn du erstmal bis N statt oo summierst, dann N gegen oo

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Ich würde das mit einer Indexverschiebung probieren:

$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+2}-\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+1}=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+2}-\sum\limits_{n=0}^{N-1}\frac{1}{n+2}$$$$\phantom{S_N}=\left(\frac{1}{N+2}+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n+2}\right)-\left(\frac{1}{0+2}+\sum\limits_{n=0}^{N-1}\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{N+2}-\frac{1}{2}$$$$S_\infty=\lim\limits_{n\to\infty}S_N=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{N+2}-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}$$

Comments

danke das hat mir sehr geholfen !!

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Schade, dass du als Dank dafür, eine andere Antwort als beste ausgezeichnest hat.