Sind 2 quadratische Gleichungen mit 2 Variablen analytisch lösbar?

Question

49 = a² + b² - 2*a*b*cos(50^o)

144 = a² + b² + 2*a*b*cos(50^o)

Comments

Sieht eher mühsam aus. 2 Ideen:

1. Hast du schon versucht (I) nach a aufzulösen (pq-Formel) und beide a bei (II) einzusetzen?

2. 49 = a² + b² - 2*a*b*cos(50^o)

sieht nach Cosinussatz aus. Kannst du eventuell den Sinussatz noch einbeziehen?

WA weicht ins Komplexe aus, hat aber zum Schluss verschwindend kleine Imaginärteile:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=49+%3D+a%5E2+%2B+b%5E2+-+2*a*b…

Answer 1

49 = a² + b² - 2*a*b*cos(50^o)         (I)

144 = a² + b² + 2*a*b*cos(50^o)      (II)

-----------------------------------------------(II) - (I)

95 = 4abcos(50°)

a = 95 /(4bcos(50°))

49 = (95 /(4bcos(50°))²  + b² - 2*95*cos(50^o) / 4

49 = (95 /(4bcos(50°))^2  + b² - 95*cos(50^o) / 2

 Jetzt kannst du mit b² multiplizieren, b² = u substituieren und dann eine quadratische Gleichung lösen.

Answer 2

$$49 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(50^\circ) \\ 141 = a^2 + b^2 + 2ab\cos(50^\circ)$$Addieren und Subtrahieren der Gleichungen führt zu

$$a^2 + b^2 = \frac{49 + 144} 2 \\ 2ab = \frac{49 - 144} {2 \cdot \cos(50^\circ)}$$Erneutes Addieren und Subtrahieren mit anschließendem Wurzelziehen ergibt

$$a + b = \pm\,\sqrt{ \frac{49 + 144} 2 + \frac{49 - 144} {2 \cdot \cos(50^\circ)} } \\ a - b = \pm\,\sqrt{ \frac{49 + 144} 2 - \frac{49 - 144} {2 \cdot \cos(50^\circ)} }$$Nochmaliges Addieren, Subtrahieren  und anschließendes Halbieren erzeugt

$$a = \frac{ \pm\,\sqrt{ \frac{49 + 144} 2 + \frac{49 - 144} {2 \cdot \cos(50^\circ)} } \pm \sqrt{ \frac{49 + 144} 2 - \frac{49 - 144} {2 \cdot \cos(50^\circ)} } } 2\\ b = \frac{ \pm\,\sqrt{ \frac{49 + 144} 2 + \frac{49 - 144} {2 \cdot \cos(50^\circ)} } \mp \sqrt{ \frac{49 + 144} 2 - \frac{49 - 144} {2 \cdot \cos(50^\circ)} } } 2$$Falls ich mich nicht irgendwo vertan habe, scheinen alle Lösungen reell zu sein.

Comments

So, oben sollte es statt
$$2ab = \frac{49 - 144} {2 \cdot \cos(50^\circ)}$$wohl richtig
$$2ab = \frac{144 - 49} {2 \cdot \cos(50^\circ)}$$heißen und darunter entsprechend auch.

Damit sollten sich dann die folgenden vier vorzeichenrichtigen, reellen Lösungspaare ergeben, die auch der numerische Löser meines Algebra-Programms liefert:

a = -4.14967099, b = -8.90394467
a = 4.14967099, b = 8.90394467
a = -8.90394467, b = -4.14967099
a = 8.90394467, b = 4.14967099

Wär nett, wenn das mal jemand bestätigen könnte. Was WolframAlpha da gemacht hat, weiß ich nicht. Mein CAS liefert die Lösung auch in algebraischer Form.

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Sehr eleganter Lösungsweg; ergibt korrekte Werte, besten Dank!