Lösen von LGS mit mehreren Variablen

Question

Text erkannt:

\( \begin{array}{c} \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c} u & 1 & 3 & -0 & -3 & u \\ 0 & -7 & 5 & -3 & -2 & 0 \end{array}\right) \\ \stackrel{Z_{3}+7 \cdot Z_{3}}{\rightarrow}\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & -3 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -6 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 26 & -45 & -23 & 0 \end{array}\right) \end{array} \)

Finde Ausdrücke für \( v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5} \) durch Einführen von Parametern und anschließendem Lösen des Gleichungssystems.
Setze z.B. \( v_{5}=s, v_{4}=t \) mit \( s, t \in \mathbb{R} \).
Aus den Gleichungen folgt nun für \( v_{3}, v_{2}, v_{1} \) :
\( \begin{array}{l} \Rightarrow v_{3}=\frac{45}{26} t+\frac{23}{26} s \\ \Rightarrow v_{2}=\frac{21}{26} t+\frac{9}{26} s \\ \Rightarrow v_{1}=-\frac{11}{26} t-\frac{1}{26} s \end{array} \)

Ausgeschrieben ergibt sich folgender Kern von \( A \) :
\( \operatorname{kern}(A)=\left\{v \in \mathbb{R}^{4} \mid v=\frac{s}{26}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 9 \\ 23 \\ 0 \\ 26 \end{array}\right)+\frac{t}{26}\left(\begin{array}{c} -11 \\ 21 \\ 45 \\ 26 \\ 0 \end{array}\right), s, t \in \mathbb{R}\right\} \)

Hallo, zu diesen Lösungen verstehe ich leider nicht wie man v1-v3 bestimmen konnte. Ich habe s und t in die 3. Gleichung eingesetzt und dann umgestellt und bekomme das richtige raus - bei den weiteren leider nicht. Wird die Lösung von v3 nicht für die 2. Gleichung eingesetzt?

LG

Answer 1

Es gilt laut Gleichungssystem

26·v3 - 45·t - 23·s = 0 --> v3 = 23/26·s + 45/26·t

und damit

v2 + 3·(23/26·s + 45/26·t) - 6·t - 3·s = 0 --> v2 = 9/26·s + 21/26·t

und damit

v1 + 2·(9/26·s + 21/26·t) - 3·(23/26·s + 45/26·t) + 4·t + 2·s = 0 --> v1 = - 1/26·s - 11/26·t

Rechne also nochmals sorgfältig nach.

Answer 2

Dein Vorgehen stimmt. Vielleicht hast du dich verrechnet? Wenn du Deine Rechnung zeigst, kann man schauen, woran es liegt.

Answer 3

Na ja, der Schritt zur RRef nachgeliefert

\(\small Rref_A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&\frac{11}{26}&\frac{1}{26}\\0&1&0&\frac{-21}{26}&\frac{-9}{26}\\0&0&1&\frac{-45}{26}&\frac{-23}{26}\\\end{array}\right)\)

ergibt die v1,v2,v3 umstellen der RRef oder vielleicht

\(\small \left\{ Rref, \left(\begin{array}{rr}id_{r,r}&K_{r,n-r}\\0&0\\\end{array}\right) \to Kern, \left(\begin{array}{r}K_{r,n-r}\\-id_{n-r,n-r}\\\end{array}\right) \right\} \)

\(\small kern_A \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{11}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{-21}{26}&\frac{-9}{26}\\\frac{-45}{26}&\frac{-23}{26}\\-1&0\\0&-1\\\end{array}\right)* 26\;evtl\;erweitern\)

also

A kern_A = 0

geht mit https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/kr6aduce