Aufgabe:
Text erkannt:
88
4.7.7 Beispiel. Nach elementaren Umformungen sei die folgende \( e_{n_{1}} \) Koeffizientenmatrix entstanden:
\( [\tilde{A} \| \tilde{b}]=\left[\begin{array}{rr|rrr||c} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & t \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & t+t^{2} \end{array}\right] . \)
Dieses System ist dann und nur dann lösbar, wenn \( t+t^{2}=0 \) gilt, d. h, \( t=-1 \) oder \( t=0 \) erfüllt ist.
Wir betrachten also die beiden inhomogenen Systeme
\( S_{-1}: \quad \tilde{A} x=\tilde{b}_{-1} \quad \) und \( S_{0}: \quad \tilde{A} x=\tilde{b}_{0} \) mit
\( \tilde{b}_{-1}:=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \tilde{b}_{0}:=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \text {. } \)
Fuir
Für den Fall \( t=-1 \) ergibt sich
\( \left[\begin{array}{rr|rrr||r} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] . \)
Unser Satz liefert folgende Basis für den Lösungsraum des homogenen stems:
\( h_{1}=\left(\begin{array}{r} -1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad h_{2}=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad h_{3}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) . \)
Eine spezielle Lösung \( v_{\text {sp }} \) des inhomogenen Systems \( S_{-1} \) erhält man na der Wahl \( \left(v_{\mathrm{sp}}\right)_{3}=0=\left(v_{\mathrm{sp}}\right)_{4}=\left(v_{\mathrm{sp}}\right)_{5} \) als \( v_{\mathrm{sp}}=(-1,1,0,0,0)^{\top} \).
Wir geben eine Parameterdarstellung der allgemeinen Lösung an:
\( \begin{array}{l} \left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{K}\right) \\ \end{array} \)
Hallo, ich verstehe leider nicht so ganz, wie man den „Stützvektor“ vsp erhalten konnte. Wenn ich x3 =0 setze erhalte ich etwas anderes.
LG
