Inhomogenes LGS spezielle Lösung gesucht

Question

Aufgabe:

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88
4.7.7 Beispiel. Nach elementaren Umformungen sei die folgende $e_{n_{1}}$ Koeffizientenmatrix entstanden:
$[\tilde{A} \| \tilde{b}]=\left[\begin{array}{rr|rrr||c} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & t \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & t+t^{2} \end{array}\right] .$

Dieses System ist dann und nur dann lösbar, wenn $t+t^{2}=0$ gilt, d. h, $t=-1$ oder $t=0$ erfüllt ist.
Wir betrachten also die beiden inhomogenen Systeme
$S_{-1}: \quad \tilde{A} x=\tilde{b}_{-1} \quad$ und $S_{0}: \quad \tilde{A} x=\tilde{b}_{0}$ mit
$\tilde{b}_{-1}:=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \tilde{b}_{0}:=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \text {. }$
Fuir
Für den Fall $t=-1$ ergibt sich
$\left[\begin{array}{rr|rrr||r} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] .$

Unser Satz liefert folgende Basis für den Lösungsraum des homogenen stems:
$h_{1}=\left(\begin{array}{r} -1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad h_{2}=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad h_{3}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) .$

Eine spezielle Lösung $v_{\text {sp }}$ des inhomogenen Systems $S_{-1}$ erhält man na der Wahl $\left(v_{\mathrm{sp}}\right)_{3}=0=\left(v_{\mathrm{sp}}\right)_{4}=\left(v_{\mathrm{sp}}\right)_{5}$ als $v_{\mathrm{sp}}=(-1,1,0,0,0)^{\top}$.
Wir geben eine Parameterdarstellung der allgemeinen Lösung an:
$\begin{array}{l} \left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{K}\right) \\ \end{array}$

Hallo, ich verstehe leider nicht so ganz, wie man den „Stützvektor“ vsp erhalten konnte. Wenn ich x3 =0 setze erhalte ich etwas anderes.

LG

Answer 1

Stell dir die Matrix wieder als LGS vor und behalte im Hinterkopf, dass wir nur eine spezielle Lösung suchen:

${\color{blue}{x_1}} +$ "etwas, das wir zu null machen können" = ${\color{blue}{-1}}$

${\color{blue}{x_2}} +$ "etwas, das wir zu null machen können" = ${\color{blue}{1}}$

Was wäre nun dein Kandidat für eine spezielle Lösung? Und wie würdest du dieses "etwas" zu null machen?

Answer 2

Du sollst dir x3, x4 und X5 null einsetzen. Was bekommst du dann die X1 und X2 heraus?