Inhomogenes LGS Loesbarkeit ohne Determinante

Question

Es geht hier um ein LGS was ich nicht richtig geloest bekomme.

i) Bestimmen Sie rgA.

ii) Wie lautet die allgemeine Lösung des homogenen Gleichungssystems $A \vec{x}=0$

iii) Für welche $\vec{b} \in R^{3}$ ist das inhomogene Gleichungssystem A $\vec{x}=\vec{b}$ loesbar? Falls es loesbar ist, ist die Lösung dann eindeutig? Wie lautet die allgemeine Lösung?

$A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 6 \\0 & 1 & 4 \\1 & 0 & 2\end{array}\right)$

Also bei i) habe ich Rang 2 die Zeilenstufenform ist $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

Bei ii) habe ich dann fuer $x_{3}=t$ gewaehlt. Daraus folgt dass ich fuer $x_{2}=-4 t$ und fuer $x_{1}=2 t$ habe.

Bei iii) weiss ich gar nicht weiter....Ich habe mal die Matrix A mit b aufgeschrieben und dann den Rang berechnet...also:

$A=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 6 & b_{l} \\ 0 & 1 & 4 & b_{2} \\ 1 & 0 & 2 & b_{3}\end{array}\right)$ 

auf Zeilenstufenform gebracht:

$A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 6 & b_{1} \\ 0 & 1 & 4 \mid & b_{2} \\ 0 & 0 & 0 & \left(b_{3}-b_{l}\right)+2 b_{2}\end{array}\right)$

Jetzt kann ich eine Fallunterscheidung machen oder nicht?

Wenn $b_{3}=b_{1}$ ist und $b_{2}=0$ ist, habe dann haben wir doch Rang 2.

Jetzt weiss ich nicht ob es loesbar ist und wie die allgemeine Lösung davon ist. Und alles ohne Determinante berechnen. Kann jemand sagen ob ich bis jetzt richtig liege oder ganz falsch.

Answer 1

Hi,

Die Matrix $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 6 \\ 0& 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} \right)$ kann umgeformt werden in $\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 6 \\ 0& 1 & 4 \\ 0 & -2 & 4 \end{matrix} \right)$ durch Subtraktion der 1-ten von 3-ten Zeile und dann in $\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 6 \\ 0& 1 & 4 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right)$ durch Addition des zweifachen der 2-ten Zeile mit der 3-ten Zeile. Damit ist der Rang der Matrix 3. Daraus folgt es gibt eine inverse Matrix $A^{-1}$ und deshalb ist die homogene Lösung der Glaichung Ax=0 gleich x=0 und damit gilt auch, das Gleichungssystem Ax=b ist für jedes b lösbar.