Skizze einer parametrisierten Kurve. Hauptnormalenvektor, Binormalenvektor, Krümmung?

Question

Aufgabe:

Man fertige eine Skizze der folgenden Kurven an und berechne den Hauptnormalenvektor, den Binormalenvektor und die Krümmung:

(a) \( \vec{c}_{1}(t)=\left(\begin{array}{c}e^{-t} \cos (t) \\ e^{-t} \sin (t) \\ t\end{array}\right), t \in \mathbb{R} \)

(b) \( \vec{c}_{2}(t)=\left(\begin{array}{c}1 \\ t \\ t^{3}\end{array}\right), t \in \mathbb{R} . \)

Comments

Wie berechnet man den Hauptnormalenvektor, den Binormalenvektor und die Krümmung einer kurve?

Sind meine Lösungen korrekt?

Nehmen wir unter (b).

erstmalls muss der Tangentenvektor ausgerechnet werden:

also ist das:  T= c^Ι / Ιc^ΙΙ (die erste ableitung von C durch den betrag der ersten ableitung.

also ist T= 1/√1+9t⁴ * (0,1,3t²)

dan kommt der Normalenvektor. den bekommt man N = T^Ι / Ι T^Ι Ι (erste ableitung von T durch betrag)

also ist N= (0,0,6t)

dan kommt der Binormalenvektor und den bekommen wir T x N (T kreuzprodukt N)

also ist B= 1/√1+9t⁴ (6t,0,0).

ist das richtig oder habe ich irgendwo einen fehler gemacht

Answer 1

Ich hab die Funktion mit 2 ableitungen und den Vektoren mal in 3D gebastelt - sehr interessant!

Ein Flach-Vorschau im Anhang.

Wenn Du GeoGebra hast /kannst, dann sag Bescheid - schick ich Dir auch das komplette Teil mit Schieberegler, um den Punkt auf der Kurve rumrutschen zu lassen und zuzusehen was die Vektörli so treiben.