Konvergenz von uneigentlichen Integralen über sin(x^2) und exp(-x)

Question

Ich soll bestimmen, welches der beiden uneigentlichen Integrale konvergiert, bzw. ob beide konvergieren, aber ich komme nicht so ganz klar. Zum mit Integralen und zum anderen wegen +/-∞ als Grenzen.

$$ \begin{array} { l } { \text { a) } \int \limits _ { 0 } ^ { \infty } \sin \left( x ^ { 2 } \right) d x } \\ { \text { b) } \int \limits _ { - \infty } ^ { \infty } e x p ( - x ) d x } \end{array} $$

Ich hab auch schon Mitstudenten gefragt, aber von denen sagt auch jeder was anderes, manche meinen mit Substitution, manche sagen partielle Integration und bei der Konvergenz sind die sich auch uneinig.

Kann mir bitte, bitte jemand helfen und auch vielleicht erklären, wie mand das macht?

Answer 1

b) kann gar nicht konvergieren, da links der y-Achse die Fläche unter der Kurve auf jeden Fall unendlich ist.

a)  Die Flächenstücke sind alternierend positiv und negativ. Da sie immer schmaler werden im Grenzwert nur noch Epsilon breit und höchstens 1 hoch, bilden sie eine alternierende Nullfolge. Der Grenzwert des uneigentlichen Integrals existiert.