Wie überprüft man die Existenz von uneigentlichen Integralen?

Question

Ich soll die Existenz dieser uneigentlichen Integrale überprüfen und gegebenenfalls berechnen.

 

¹∫₀    -1/√(1-x^2) dx

^e∫₀    ln (x) dx

^∞∫₀    cos (x) dx

^∞∫_-∞   cos(x) dx

 

Die Fragestellung verwirrt mich ein wenig. Ich komme leider nicht weiter :(

Answer 1

Wenn du sie ausrechnen kannst, existieren sie. (Grenzen einsetzen, resp. Grenzwerte berechnen, wenn du unendlich einsetzen musst).

a) Kannst du ähnlich machen wie hier: https://www.mathelounge.de/8965/bestimme-die-uneigentlichen-integrale-von-f-x-1-x-und-g-x-1-1-x-2

Vorgerechnete Beispiele für Integrale, die existieren: https://de.wikipedia.org/wiki/Uneigentliches_Integral#Beispiele

 

^e∫₀  1*  ln (x) dx = xlnx -∫ 1 dx = xlnx-x |_o^e = e ln e -e -(x*lnx - x)_{grenzwert x gegen 0} =e*1 - e -(0)  = 0.

^∞∫₀    cos (x) dx = sin(x) |_o^uenendlich = sin(x)_{x gegen unendlich} - sin(0) = ex. nicht.

^∞∫_-∞   cos(x) dx = ^∞∫₀    cos (x) dx  + _-∞∫⁰    cos (x) dx  existiert auch nicht.

Comments

Heißt es jetzt, dass die zweite Aufgabe existiert ? Wenn ich die Aufgabe im Onlinerechner eingebe, steht da als Endergebnis ´´NaN´´ .

Ist das dasselbe wie 0 ?

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Ach nein. Ok. Ich habe es gecheckt :)

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Anscheinend dieselbe Uni :) 

Ich würde aber auch gerne wissen wollen, ob ^e∫₀  ln (x) dx existiert oder nicht ?

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@Anonym: Ja. b) existiert. Die Zahl 0 existiert.

Eigentlich ist ja dort noch für x*lnx der Grenzwert x gegen 0 zu berechnen/ wissen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+x*lnx

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hey!

hätte ein paar fragen :)

ich kenne das nur irgendwie so mit einer formal, dass die obere grenze dann b ist, und b geht dann gegen unendlich, ist das das gleiche? ich lade davon gleich mal ein bild hoch


sonst einfach nur verständnisfragen an Lu. wenn du schreibst: sin(x)x gegen unendlich - sin(0), wie lese ich das dann ist das dann lim und dadrunter x-> unendlich sin(x) - sin(0) oder wie? umd wieso kann man sagen dass die nicht existieren? x ist ja kein konkreter eindeutiger wert.

werde daraus irgendwie nicht schlau

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Diese beiden zum Beispiel, hat das was damit zutun?

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wenn du schreibst: sin(x)_{x gegen unendlich} - sin(0),

Ja. Schreib besser lim sin(x).

dadrunter x-> unendlich 

sinx ist eine periodische Funktion, die für x gegen unendlich immer wieder die Werte 1 , 0,-1 und alle dazwischen annimmt. Da gibt's keinen Grenzwert.

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Ja. Man muss ein Integral von minus unendlich nach plus unendlich aufteilen. Wenn einer der Grenzwerte nicht existiert, existiert das Gesamtintegral nicht.

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ich dachte immer ln(0) wäre vielleicht unendlich oder ist das falsch?

in dem fall wäre dass ja dann 0 mal unendlich und das kann man nicht defienieren oder?

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Darum nennt man sie auch uneigentliche Integrale (arbeite dich bitte durch die oben angegebenen Verlinkungen). ln(x) und e^x gehen durch Achsenspiegelung auseinander hervor.

Vergleiche daher

^e∫₀    ln (x) dx mit Stücken unter der Kurve zu g(x) = e^{-x}, noch an der y-Achse gespiegelt.

Ein Stück wäre z.B.

^∞∫₁    e^{-x} dx      = -e^{-x} |₁^∞  

= - 0 + e^1 = e

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Der "Lu" ist echt gut: Sehr schöner, informativer Gesprächsverlauf. Prima!