Konvergenz von uneigentlichen Integralen mittels Vergleichskriterien

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Muss diese Aufgabe für die Uni lösen. Habe jedoch keine Idee wie ich ein passendes Vergleichskriterium dazu finde. Würde um Lösungsansätze bitten. LG

Comments

Hallo
Unterteile das Integral von 0 bis 1 und 1 bis unendlich, dann hast du 2 gute Abschätzungen
ich sehe keine gute für den ganzen Bereich
lul

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a) ist doch bei x=1 gar nicht definiert, also nicht integrierbar

von 0 bis ∞.

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Hallo

eine hebbare Unstetigkeit bei x=1 mit f(1)=0 macht die funktion integrierbar

lul

Answer 1

Aloha :)

zu a) Der Integrand hat drei Nullstellen, \(x_1=-1\), \(x_2=0\), \(x_3=1\). Im Integrationsintervall von \(0\) bis \(\infty\) ist der Integrand also gar nicht an allen Punkten definiert. Daher existiert das Integral nicht.

zu b) Wir folgen dem Hinweis, wählen aber eine etwas andere Substitution:$$x=-y^2\quad\implies\quad \frac{dx}{dy}=-2y\;;\;y(-\infty)\to\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{-x}=\infty\;;\;y(0)=0$$sodass für das Integral gilt:$$I=\int\limits_{-\infty}^0\frac{e^x}{\sqrt{|x|}}\,dx=\int\limits_{-\infty}^0\frac{e^x}{\sqrt{-x}}\,dx=\int\limits_{\infty}^0\frac{e^{-y^2}}{y}\,(-2y\,dy)=2\int\limits_0^\infty e^{-y^2}\,dy=2\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}=\sqrt\pi$$wobei das Gauß-Integral \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi\) als bekannt vorausgesetzt wurde.

Comments

Ich danke dir vielmals <3

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Die Argumentation zu a ist falsch: Gefragt ist nach uneigentlichen Intagralen. Da kann (!) der Integrand durchaus isolierte Lücken haben.

Answer 2

a) Das uneigentliche Integral existiert.

Zum Problem bei x=1: Es gilt

$$x^7-x=x(x^6-1)=x(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$$

Also gilt in einer Umgebung von 1:

$$\frac{x^2-1}{\sqrt{|x^7-x|}}=\frac{x-1}{\sqrt{|x-1|}}\frac{x+1}{x(x^5+ \cdots} \to 0, x \to 1$$

Diese Stell ist also eine stetig hebbare Lücke und für das Integral unerheblich.

Integrierbarkeit "bei 0": Es gilt in einer rechtsseitigen Umgebung von 0:

$$\frac{x^2-1}{\sqrt{|x^7-x|}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \frac{x^2-1}{(1-x)(x^5+ \cdots )}$$

Der 2. FAktor konvergiert gegen -1, also lässt sich der Absolutbetrag des Integranden in einer geeigneten rechtsseitigen Umgebung nach oben abschätzen durch (zum Beispiel) \(2/\sqrt{x}\). Dies ist ungeigentlich integrierbar:

$$\int_s^1 x^{-1/2} dx=\left[2x^{1/2}\right]_s^1 \to 2, s \to 0$$

Integrierbarkeit "bei \(\infty\)":

Frü große x ist:

$$\frac{x^2-1}{\sqrt{|x^7-x|}}=\frac{x^2}{x^{3.5}}\frac{1-x^{-2}}{\sqrt{1-x^{-6}}}$$

Also lässt sich der Integrand absolut für große x abschätzen durch \(2/x^{1.5}\). Dies ist ebenfalls uneigentlich integrierbar.