Uneigentliche Konvergenz gegen unendlich der Folge (b^n/n^k) für b>1.

Question

Die folgende Aufgabe ist aus dem Buch Analysis 1 von O.Forster. Leider ist im Buch keine Lösung angegeben.

Meine Unsicherheit liegt vor allem in Punkt 1, da ich nicht weiß, ob die Für N geltende Formel zwangsläufig auch für n gilt.

Man beweise: Für jede reelle Zahl \( b>1 \) und jede natürliche Zahl \( k \) gilt

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{b^{n}}{n^{k}}=\infty \)

Beweis:

Es sei \( a_{n}:=\frac{n^{k}}{b^{n}} \) und \( b_{n}:=\frac{b^{n}}{n^{k}} \)

Es sei \( \varepsilon>0 \) vorgegeben und \( N \geq 3 \) so gewählt, da\beta \( N^{k+1} \leq b^{N} \). Dann gilt:
\( \frac{N^{k}}{b^{N}} \leq \frac{1}{N} \)

Damit ist \( \left|\frac{n^{k}}{b^{n}}-0\right|=\frac{n^{k}}{b^{n}} \leq \frac{1}{n}<\varepsilon \) für alle \( n \geq N \geq 3 \)

2. Da \( b_{n} \) der Reziprokes von \( a_{n} \) ist folgt die Behauptung.

Answer 1

Also ich glaube dein Beweis von 1. ist nicht richtig, da du ja damit argumentiert hast, dass der Kehrwert der Folge

bⁿ/n^k.. also n^k/bⁿ den Grenzwert 0 besitzt.. Dann bist du ja schon davon ausgegangen das bⁿ viel stärker wächst als n^k, was du ja eig beweisen sollst.

Ich würde so vorgehen:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{b^{n}}{n^{k}}=e^{\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\ln \left(\frac{b^{n}}{n^{k}}\right)\right)} \)

NR: \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \ln \left(\frac{b^{n}}{n^{k}}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n * \ln b-k * \ln n \)
\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n *\left(\ln b-\frac{k^{*} \ln n}{n}\right) \)

Und das geht für b>1 gegen unendlich, da ja der ln bekanntlich gegen jede Potenzfunktion verliert.

Den Grenzwert unendlich noch in den Exponenten von e gepackt.. e^∞ ist ebenfalls unendlich..

Also ist es gezeigt.

Comments

Von der Logik her erscheint mir Dein Beweis zwar richtig, aber ich glaube, dass die Divergenz explizit

(z.B. über die Defintition des Grenzwertes absolut(an-a) kleiner epsilon) gezeigt werden soll.

Problematisch erscheint mir formal auch folgendes:

Erstetzt man in n(ln(b)-(k*ln(n))/n) formal n durch unendlich erhält man für k*ln(n)/n unendlich/unendlich,

was ja undefiniert ist. Also müßte man das Grenzwertkriterum L Hospital anwenden und ich glaube nicht, dass man dies hier so machen sol da dieses in dem Buch noch nicht behandelt wurde.


Ich hoffe, dass ich Deine Überlegungen nicht falsch verstanden habe.

Aber trotzdem erstamal danke für die Hilfe.