Hier ich habs. Auch das Standardbeispiel ( 1 + 1/n ) ^ n geht genau so.
Als Erstes musst du eine Transformation vornehmen
n := 1 / z ; z ===> 0 ( 1 )
Mir schrieb mal jemand den Kommentar ganz empört; ja wenn ich so transformieren darf. " Für Was " lerne ich dann überhaupt noch Definitionsbereich?
g ( z ) = ( 1 + z + z ² ) ^ 1 / z | ln ( 2a )
Das ist glaub ich üblich; Grenzwerte wie x ^ x tust du Standard mäßig durch Logarirtmieren ermitteln.
F ( z ) := ln ( g ) = ( 1 / z ) ln ( z ² + z + 1 ) ( 2b )
Anmerkung: Zumal ich aus dem Telekolleg weiß, dass man heute längst die Logaritmusfunktion als Aufleitung der Normalhyperbel definiert; Folgen der Form ( 1 + 1/n ) ^ n sind etwas durchaus Nebensächliches, Abgelittenes, dessen im Ernst niemand mehr bedarf.
( 2b ) ist doch jetzt nix weiter als der Differenzenquotient der Funktion
f ( z ) := ln ( z ² + z + 1 ) ( 2c )
genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z - schlicht und ergreifend deshalb, weil
f ( 0 ) = 0 ( 2d )
Und dieser Grenzwert ist gleich f ' ( 0 )
2 z + 1
f ' ( z ) = --------------------------- ===> 1 ( 3 )
z ² + z + 1
Vergleichen wir ( 2a ) mit ( 3 ) ; der Logaritmus von ( 2a ) (bzw. deiner Folge ) geht gegen Eins. Dann muss aber der Original gesuchte Grenzwert gleich e sein.
