Abstand vom Punkt A zur Ebene E. E: x= (2 |1 |-2 ) + r*(5 |5 |-1) + s* (-1 |0 |0 ); A(2|4|13)

Question

Hallo (:

Aufgabe steht oben.

E: x= (2 |1 |-2 ) + r*(5 |5 |-1 ) + s* (-1 |0 |0 )  ; A ( 2 | 4 | 13 )

Ich möchte erstmal nur den Rechenansatz haben .

Ich muss 1. Eine Lotgerade bilden. Dazu brauche ich einen Punkt ( Punkt A) und einen Normalvektor.

Den Normalenvektor muss ich doch ganz normal von der E bestimmen oder? D.h.

I. 5x1 + 5x2 - x3 = 0

II. -x1                   = 0

III. 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0

UNd dann ganz normal ausrechnen, wie man halt eben einen Normalenvektor berechnet oder?

Oder gibt es einen kürzeren weg ?

Comments

Ich habe für n1 = 0 ; n2= t/5 ; n3=t

NN = ( 0 | t/5 | t ) = (0| 1 | 5 ) Ist das richtig ?

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ja der Normalenvektor stimmt.

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Ich habe alles durchgerechnet . Jetzt wäre es nett, wenn jemand für mich die Lösung überpfrüft ob ich das richtig gemacht habe.

 

Koodiatengleichung : x2 + 5x3 = -9

Lotgerade : ( 2 | 4+t | 13+5t)

Lotgerade schnitt E : t = -3

t in Lotgerade : L( 2|1|-2)

Abstand : LA = (2|4|13) - ( 2|1|-2) = (0|3|11)

Betrag von LA = Wurzel aus 130 = ungefähr 11,40

Also Abstand vom Punkt A bis zur Ebene E ist ungefähr 11,40

Answer 1

Kürzer wäre höchstens:

Du betrachtest das Parallelepiped (Spat) das von Vektor PA und von den Richtungsvektoren der Ebene E aufgespannt wird. (P Stützpunkt von E)

Mit dem Betrag des sogenannten Spatprodukts bestimmst du das Volumen des Spats.

Der Betrag des Vektorprodukts der beiden Richtungsvektoren ist die Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms.

Jetzt Volumen durch Fläche teilen. Ergibt die Höhe des Spats und deshalb automatisch der Abstand des Punktes A von der Ebene.

Skizze vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt

Comments

Meine Rechnung dazu

PA = (0|3|15}

u x v = (0|1|5)       Fläche: Betrag: √(1+25) = √26

Volumen (u x v) PA = 3 + 75 = 78

Abstand: 78/√26 = 15.287

Ich habe also ein anderes Resultat, als du im Kommentar.

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Vielen Danke ! Ich habe mein Fehler gefunden. Der lag beim letzten Punkt Abstand. Danke

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wie kommen SIe darauf ?

u x v = (0|1|5)

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Das ist das Kreuzprodukt von u und v. 

Rechne ich wie hier angegeben: https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

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ja das weiß ich. Ich meine was ist hier u und v ?

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Die Richtungsvektoren der Ebene E.

(-1/0/0) und (5/5/-1)