Berechnung in zykelschreibweise

Question

Sei n∈ℕ≥₂ , und betrachten Sie in G = Sym(n) die Permutationen

π=(1 2 ... n)        und       τ=(1 2).

Berechnen Sie (in Zykelschreibweise) die Elemente πτund π^-1 τπ von G.

Also ich weiss zwar wie die Berechnung in Zykelschreibweise funktioniert, allerdings weiss ich nicht wie ich hier wegen dem n in π=(1 2 ... n) vorgehen soll.

Answer 1

Bei der Konjugation mit \(\pi\) bleibt der Zykeltyp von \(\tau\) erhalten:

Wir haben \((\pi^{-1}\tau\pi)(1)=\pi^{-1}(\tau(\pi(1)))=\pi^{-1}(\tau(2))=\pi^{-1}(1)=n\)

und \((\pi^{-1}\tau\pi)(n)=\pi^{-1}(\tau(\pi(n)))=\pi^{-1}(\tau(1))=\pi^{-1}(2)=1\)

Da der Zykeltyp sich nicht ändert bekommen wir als Ergebnis \((1\;n)\).