Beweisen Sie: Sei \(d\) eine Metrik auf \({ℝ}^{n}\), die von einer Norm auf \({ℝ}^{n}\) induziert ist.

Question

1)  Dann erfüllt \(d\) die folgenden Eigenschaften:

(a) $$ d(0,\alpha v)=|a|\cdot d(0,v)\quad für\quad alle\quad \alpha \in ℝ\quad und\quad v\in { ℝ }^{ n }. $$
(b) $$ d(v+w,u+w) = d(v,u)\quad für\quad alle\quad u,v,w\in { ℝ }^{ n }. $$

2)  Sei \(d\) eine Metrik auf \({ ℝ }^{ n }\), die diese Eigenschaften erfüllt. Dann existiert eine Norm auf \({ ℝ }^{ n }\), die diese Metrik induziert.

Answer 1

Also 1 kannst du doch direkt aus den Eigenschaften einer Norm herleiten. Da musst du einfach nur die Gleichungen einmal sauber aufschreiben....

Comments

"Mathe ist nicht mein Ding", warum bitte studierst du dann etwas, dass Mathematik auf diesem "Niveau" behandelt? :)

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Ich studiere Informatik, was mir sehr liegt, allerdings ist Uni-Mathe halt nicht das leichteste Mathe.

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Ok dann viel Erfolg beim durchknüppeln :)

Answer 2

Tipp: Wenn \(d\) durch eine Norm induziert ist, so hat \(d\) die Form \(d(x,y) = \| x-y \| \), wobei \(\| \cdot \| \) eine Norm bezeichnet. Damit sind (a) und (b) schon mal leicht zu zeigen.

Mit diesem Ansatz kannst du auch 2 zeigen. Definiere dazu die Abbildung \(\|\cdot \|\) durch \(\|x\|:=d(x,0)\) und zeige, dass dies eine Norm ist.