Hi,
hier kann man beispielsweise so vorgehen: (Beachte Definitionsbereich ist: \(D_f = (0, \infty) \)
$$ \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{\frac{\ln(x+h)}{x+h}-\frac{\ln(x)}{x}}{h} \\ = \lim \limits_{h \to 0} \frac{x\ln(x+h)-(x+h)\ln(x)}{(x+h)\cdot x \cdot h} \\ = \lim \limits_{h \to 0} \frac{ x( \ln(x+h) - \ln(x) ) - h\ln(x)}{(x+h) \cdot x \cdot h} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{x \ln \left( \frac{x+h}{x} \right)-h\ln(x)}{(x+h) \cdot x \cdot h}$$
Jetzt kommt das Interessante: (Substitution: \(h = \frac{1}{n} \))
$$ = \lim \limits_{h \to 0} \frac{ \ln \left( 1 + \frac{h}{x} \right)}{(x+h) \cdot h} - \frac{\ln(x)}{(x+h) \cdot x} $$
$$ = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n \ln \left(1 + \frac{x^{-1}}{n} \right)}{x+\frac{1}{n}} - \frac{\ln(x)}{x^2} $$
$$ = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{ \ln \left( \left(1+\frac{x^{-1}}{n} \right)^n \right)}{x+\frac{1}{n}} - \frac{\ln(x)}{x^2} $$
$$ = \frac{ \ln( \exp(x^{-1}) )}{x} - \frac{\ln(x)}{x^2} $$
$$ = \frac{1}{x^2} - \frac{\ln(x)}{x^2} = \frac{1- \ln(x)}{x^2} $$
Ein Hoch auf die Ableitungsregeln ;). Ein Glück, dass es sie gibt.
Gruß
