Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion. Bestimmen Sie die Extrema und die Wendepunkte. (Berg mit Turm)

Question

Aufgabe Berg mit Turm:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\frac{1}{6} x(x-3)^{2} \).

a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion.

b) Bestimmen Sie die Extrema und die Wendepunkte von \( \mathrm{f} \).

c) Zeichnen Sie den Graphen von \( \mathrm{f} \) für \( -1 \leq \mathrm{x} \leq 6 \).

d) Bestimmen Sie die Gleichung der Ursprungstangente t von \( \mathrm{f} \).

e) Die Tangente \( t \) hat neben dem Ursprung noch den Punkt \( P(6 \mid f(6)) \) mit \( f \) gemeinsam. Berechnen Sie den Inhalt der von \( \mathrm{f} \) und t eingeschlossenen Fläche \( \mathrm{A} \).

f) Die Funktion \( \mathrm{f} \) beschreibt für \( 0 \leq \mathrm{x} \leq 3 \) einen Berg ( \( 1 \mathrm{LE}=100 \mathrm{~m} \) ). Wie groß ist das maximale Gefälle des Berges rechts des Gipfels? Wie hoch müsste ein Turm auf dem Gipfel sein, um die gesamte östliche Bergflanke überblicken zu können?

Answer 1

Es geht um Aufgabe d) meine Frage lautet was ist allgemein eine Ursprungtangente und kann es jemand vielleicht für mich mit Schritten aufschreiben damit ich es verstehe.

Ursprungstangente bedeutet:

Gerade die den Funktionsgraph von f im Ursprung berührt.

y = mx+b
b = 0
m = f'(0)

Viel Erfolg bei der Abiprüfung morgen.

Gruß

Answer 2

a) Nullstellen !

x ausklammern ---> x ( x² -6x+9 )  ,    x=0  

x1,2 = 3± √9-9 = 3 ± √0 =  3

Nullstellen x1 = 0  und x2 = 3 !

Answer 3

Wo liegen denn genau deine Probleme?

Ziehe eventuell Aufgabenteil c) vor. Dann kannst du schon alles fast grafisch beantworten

Skizze:

~plot~ 1/6*x*(x-3)^2;1.5*x;{0|0};{1|2/3};{2|1/3};{3|0};[[-1|7|-1|10]] ~plot~

Comments

Also bei (b) habe ich die Extrema bei :-

Das lokale Maximum ist 2/3 bei x=1

Das lokale Minimum ist 0 bei x=3

Und die Wendepunkte (2,1/3)

Sonst , bin ich leider nicht mehr gekommen.

Deswegen , ich hätte gerne eine vollständige Lösung für diese restlichen Aufgaben

Answer 4

Zu d)

ges. ist die Gleichung der Tangente im Punkt P(0/f(0)).

Allgemeine Form lautet: y=mx+b.

Die Tangentensteigung m erhalten wir, indem wir x=0 in die erste Ableitung einsetzen, sprich

f'(0)=...

Da die Tangente durch den Ursprung verläuft, kannst du ja mal überlegen, wo der y-Achsenabschnitt ist.

e)

Schau dir zur Veranschaulichung die Skizze vom Mathecoach an. Was du hier einfach berechnen musst ist

\( \int\limits_{0}^{6} \)(t(x)-f(x))dx