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Die Tangente \(t(x)\) an eine Funktion \(f(x)\) an einer Stelle \(x_0\) hat die allgemeine Form:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$
Hier ist \(f(x)=e^x\) und daher \(f'(x)=e^x\) und \(x_0=a\). Das setzen wir ein:$$t(x)=f(a)+f'(a)\cdot(x-a)=e^a+e^a\cdot(x-a)=e^a+xe^a-ae^a$$$$t(x)=e^a\cdot x+e^a(1-a)$$
Wenn die Tangente durch den Ursprung geht, gilt \(t(0)=0\). Daraus bestimmen wir das gesuchte \(a\):
$$\left.t(0)\stackrel!=0\quad\right|\text{\(t(x)\) einsetzen}$$$$\left.e^a\cdot0+e^a\cdot(1-a)=0\quad\right|\text{links ausrechnen}$$$$\left.e^a\cdot(1-a)=0\quad\right|\colon e^a$$$$\left.1-a=0\quad\right|+a$$$$a=1$$Für \(a=1\) verläuft die Tangente durch den Ursprung.
~plot~ e^x ; x*e ; {1|e} ; {0|0} ; [[-1|2|0|5]] ~plot~
