Optimierungsproblem: Bauer Mück setzt Dünger und Pflanzenschutzmittel ein.

Question

Aufgabe 1 - Bauer Hein Mück:

Bauer Hein Mück hat über längere Zeit den Kartoffelertrag \( x\left(f_{1}, f_{2}\right) \) (in Tonnen) seines Hofes in Abhängigkeit vom Einsatz von Dünger \( \mathrm{f}_{1} \) und Pflanzenschutzmittel \( \mathrm{f}_{2} \) (jeweils in kg) beobachtet. Beide Faktoren führen zunächst zu einem steigenden, bei zu intensivem Einsatz aber auch wieder zu einem fallenden Ertrag. Per Regression leitet er folgende Produktionsfunktion her:

\( x\left(f_{1}, f_{2}\right)=-0,1 f_{1}^{2}+2 f_{1}-0,1 f_{2}^{2}+2 f_{2}+0,1 f_{1} f_{2}-20 \)

Bestimmen Sie den ertragsoptimalen Einsatz von Dünger \( f_{1} \) und Pflanzenschutzmittel \( f_{2} \).

a) Formulieren Sie das Optimierungsproblem.

b) Leiten Sie das Optimum her. Sofern es notwendig ist, ein lineares Gleichungssystem zu lösen, verwenden Sie die Cramersche Regel.

c) Denken Sie daran zu zeigen, dass es sich um ein Maximum handelt. Verwenden Sie das Hauptunterdeterminantenkriterium mit Bezug auf die Hesse-Matrix.

d) Interpretieren Sie das Ergebnis mit wenigen Worten ökonomisch.

Comments

du sollst hier einfach das lokale Maximum finden (wie das geht sollte doch in deinen Unterlagen stehen, Stichwort: partielle Ableitung, Hesse-Matrix,...).
Während deiner Untersuchung findest du sogar raus, dass es sich um ein globales Maximum auf deinem Definitionsbereich handelt!
Gruß

Answer 1

Problem  f(x,y) = -0,1x^2 + 2x -0,1y^2 +2y + 0,1xy - 20 soll auf Maxima mit x,y ≥0 untersucht werden.

partielle Abl'en

f '_x (x,y) = -0,2x + 2 + 0,1y   und   f '_y (x,y) = -0,2y + 2 +0,1x

also Gleichungssystem  

-0,2x + 2 + 0,1y  = 0

-0,2y + 2 +0,1x = 0

oder

-0,2x  + 0,1y  = -2

0,1x  -0,2y = -2   nach Cramer-Regel

det D=  -0,2     0,1

0,1     -0,2          =   0,03

und Dx = -2     0,1
                 -2      -0,2          = 0,6

und Dy = -0,2     -2
                  0,1     -2          = 0,6

also x = 0,6/0,03 = 20  und  y = 20

Hesse- Matrix

-0,2    0,1

0,1       -0,2     hat det = 0,03 > 0

und oben links steht etwas positives, also lok. Max. bei (20/20)

und f(20;20) = 20

max. Ertrag von 20 t Kartoffeln bei Einsatz von je 20 kg Dünger und Pestizid.

Comments

Sehr vielen dank... Aber ich habe nun das nächste Problem..... Hier ist die folgeaufgabe ich weiß durch logisches denken das dort 12.5 dünger und 12.5 psm gekauft werden aber komme durch gleichsetzen nicht auf das Ergebnis.... Ich habe dort immer 10 und 15 raus woran liegt das....Habe die f(xy) mit der neuen Formel aus der nächsten Aufgabe gleichgesetzt.

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jetzt hast du ja ein Opt.problem mit Nebenbedingung

10x + 10y ≤ 250

und dann mit Lagrange-Multiplikator.

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Also nicht die cramersche Regel?

Danke

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Cramer - Regel für das Gleichungssystem. Aber Aufstellen des Gl.syst.

mit Lagrange.

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Habe nun das Ergebnis herausbekommen...nur komme ich mit der geranderten Hesse Matrix nicht weite...kann mir jemand den Anfang sagen bzw. wie das geht...im Internet ist das sehr kompliziert erklärt... hier mein Rechenweg:

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die geränderte Hesse-Matrix sieht doch so aus

wenn L( l,x,y) die Lagrange-Funktion und g(x,y) die Nebenbeding. ist

und gx die Abl von g nach x und Lxx die 2. Abl. von L zweimal nach x etc

0               gx                gy

gx            Lxx               Lxy

gy           Lyx               Lyy

also

0             10                10

10          -0,2             0,1

10           0,1            -0,2

und det=60 >0   also Maximum