Warum ist damit die Aussage (Fläche unter einer Parabel nach Archimedes) gezeigt? (Parabel mithilfe der Simpsonregel)

Question

Aufgabe:

Sei \( p \in \mathcal{P}_{2} \) eine Parabel mit \( \left.p\right|_{[a, b]} \geq 0 \) auf dem Intervall \( [a, b] \subset \mathbb{R},(a<b) \).

Zeigen Sie:

\( A_{P}=A_{T}+\frac{4}{3} A_{D} \)

wobei

\( A_{P}:=\int \limits_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \)

die Fläche unter der Parabel (grau), \( A_{D} \) die Fläche des Dreicks mit den Eckpunkten \( (a, p(a)),(b, p(b)) \) und \( \left(\frac{a+b}{2}, p\left(\frac{a+b}{2}\right)\right) \) (hellgrau) und \( A_{T} \) die Fläche des Trapezes mit den Eckpunkten \( (a, 0),(b, 0),(a, p(a)) \), \( (b, p(b)) \) (dunkelgrau) ist, vgl. Abbildung.

Warum ist damit die Aussage aus der Vorlesung - Beispiel (1.3) 1) (Fläche unter einer Parabel nach Archimedes) - gezeigt?

Hinweis: Verwenden Sie die Simpson-Regel. Die Fläche des Dreiecks ist als negativ zu werten, falls die Parabel nach unten geöffnet ist.

Answer 1

Nimm eine allgemeine Parabel

f(x) = ax^2 + bx + c

Berechne dann allgemein die beiden Formeln für A_P und zeige das sich das gleiche ergibt.

Du solltest in beiden Fällen auf den Term

AP = - a·r^3/3 + a·s^3/3 - b·r^2/2 + b·s^2/2 - c·r + c·s

kommen.

* r und s sind die Integrationsgrenzen und ersetzen a und b. Das hatte ich nur gemacht, damit ich die allgemeine Parabelgleichung von den Buchstaben her nicht abändern muss. Es steht dir frei dies zu tun und die Integrationsgrenzen bei a und b zu belassen.