f(x) = (e^{-x} -1)^2 Nullstelle, Ableitung usw..

Question

"Untersuche f auf Null-, Extrem- und Wendestellen. Wie verhält sich f für x --> + ∞?"

f(x) = (e^-x -1)² Binomische Formel auflösen

f(x) = e^-2x-2e^-x+1 --> einzige Nullstelle bei 0?

Und dann weiß ich nicht weiter. Die Ableitung würde ich jetzt mithilfe der Produkt Regel bilden. Aber dort ist ja zweimal e^-x und wegen dem Faktor 2 kann ich die auch nicht zusammenfassen oder?

Wie geht man da weiter vor? Danke :)

Answer 1

f(x) = (e^{-x} - 1)^2 = e^{- 2·x} - 2·e^{-x} + 1

f'(x) = 2·e^{-x} - 2·e^{- 2·x} = 2·e^{-x}·(1 - e^{- x})

f''(x) = 4·e^{- 2·x} - 2·e^{-x} = 2·e^{-x}·(2·e^{- x} - 1)

Nullstellen f(x) = 0

(e^{-x} - 1)^2 = 0
e^{-x} - 1 = 0
e^{-x} = 1
x = 0

Answer 2

Die Nullstelle siehe  Mathecoach

e^{-x} = 1/2  | ln ( )
-x = ln(1/2) = ln(1) - ln(2) = - ln(2)
x = ln ( 2 )

W ( ln ( 2 )  | f ( ln (2 ) )

lim x −> + ∞ [  (e^-x -1)²  ]  = ( 0 - 1 )^2 = 1

~plot~ ( 1 / e^{x} - 1 )^2 ; { 0.693 | 0.25 } ~plot~