Berechne x aus der Exponentialgleichung: 5*3^{5-x}=10^{x/2}

Question

Bsp.:

5*3^{5-x}=10^{x/2}

5*(3^5)^{-x}=10^{0,5x}  /:5

(3^5)^{-x}=2^{0,5x}

(243)^{-x}=2^{0,5x}

-x*lg(243)=0,5x*lg2

-x/0,5x=lg2/lg(243)

-0,5x=0,12618

x= 4*[(-1/4)*x]

x=0,50472

.

Comments

x=0,50472

Und nun die Probe
5*3^5-x=10^x/2

5 * 3^4.5 = 10^0.25
701.5 = 1.78

Dein Ergebnis ist also falsch.

Answer 1

$$ 5\cdot 3^{5-x}=10^{\frac{x}{2}} $$

wir ordnen zunächst:

$$ 5\cdot 3^{5-x}=10^{\frac{x}{2}} \qquad \vert \cdot 10^{-0,5x}\quad ;\quad :5$$

$$  3^{5-x}\cdot 10^{-0,5x}=\frac{1}{5} $$

Wir müssen nun die beiden Exponenten zusammen bekommen, das ginge durch die Multiplikation der Potenzen, wenn sie gleiche Basen hätten. Haben sie aber nicht. Allerdings gilt a^x=e^ln(a)x und das benutzen wir, um gleiche Basen zu bekommen:

$$ e^{ln(3)\cdot (5-x)}\cdot e^{ln(10)\cdot (-0,5x)}=\frac{1}{5} $$

jetzt wenden wir die Potenzgesetze an und fassen zusammen. Es wird:

$$ e^{5\cdot ln(3)-(ln(3)+0,5\cdot ln(10))x}=\frac{1}{5} $$

Jetzt nehmen wir das e wieder weg:

$$ 5\cdot ln(3)-(ln(3)+0,5\cdot ln(10))x=ln\Big(\frac{1}{5}\Big) $$

Freistellen nach x:

$$x=\frac{5\cdot ln(3)-ln(0,2)}{ln(3)+0,5\cdot ln(10)}=3,15680... $$

jetzt sollte auch die Probe passen...

Comments

Die Probe habe ich nachgerechnet, passt alles perfekt.

Also immer wenn ich verschiedene Basen habe, kommt die eulerische Zahl ins Spiel ?

Liegt das ausschließlich daran, dass verschiedene Basen vorhanden sind, denn die sind ja bei meinen anderen Aufgaben auch vorhanden. Dort musste ich vereinfachen und das x im Exponenten alleine stehen lassen.

Ist mit gleicher Basis etwa 3-4x=2x+1 ungleich 5-x=x/2 gemeint ?