Determinanten von zwei Matrizen berechnen

Question

Man soll die Determinanten dieser zwei Matrizen berechnen:

\( \left(\begin{array}{cccc}x_{1} y_{1} & x_{1} y_{2} & \ldots & x_{1} y_{n} \\ x_{2} y_{1} & x_{2} y_{2} & \ldots & x_{2} y_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n} y_{1} & x_{n} y_{2} & \ldots & x_{n} y_{n}\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0\end{array}\right) \)

Würdet ihr mir die Methode verraten und den Ansatz erklären?

Comments

Zur 2. Matrix:

Was passiert denn mit der Determinante einer Matrix, wenn man 2 Zeilen der Matrix vertauscht?

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Dann ändert sich doch das Vorzeichen oder?

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Wieviel mal muss das Vorzeichen ändern, bis du alle 1er in der Hauptdiagonalen hast, wenn die Matrix n Zeilen hat?

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Ich würde jetzt sagen n mal........

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Fast.

Bei 2 Zeilen: 1 mal,

Bei 3 Zeilen: 2 mal,

Bei n Zeilen: n-1 mal

Daher bekomme ich bei 2.

Det(M) = (-1)^{n-1} .

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achso stimmt, danke, aber wie schreibe ich das jetzt auf ?

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Erkläre in 2 bis 3 Sätzen, was wir überlegt haben.

Das sollte genügen.

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Und zur ersten, kann da jemand helfen ?

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mathef hat dir ja die (i) gelöst für n≥2.

n=1 müsste Det(M)=  x1*y1 geben.

Answer 1

zur ersten:
Da eine Determinante ja eine Multilinearform ist, kannst du
aus jeder Spalte einen Faktor herausziehen (aus der 1. y1, aus der 2. y2
etc. und hast dann



det = y1*y2*...*yn * det  (M)
und das M hat alles gleiche Spalten, also ist die det = 0
und damit ist
det = y1*y2*...*yn * 0  = 0