U = <s_(2), ... ,s_(n), s_(1)+ a*s_(n)> für alle a aus K? Immer noch das selbe Erzeugnis?

Question

Aufgabe:

Es seien ein Körper \( K \), ein \( K \)-Vektorraum \( V, n \in \mathbb{N}_{0} \) und ein \( n \)-Tupel \( s=\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right) \) in \( V \) gegeben. Ferner sei \( U:=\left\langle s_{1}, \ldots, s_{n}\right\rangle \)

Ist für n>=2 immer U = <s_(2), ... ,s_(n), s_(1)+ a*s_(n)> für alle a aus K?

< > beschreiben ein Erzeugendensystem

Answer 1

Ja, denn alles was in <s₂, ... ,s_n, s₁+ a*s_n> kannst du auch mit
<s₁,s₂, ... ,s_n> erzeugen und umgekehrt.
bei s2 bis sn bleiben die Faktor dafür gleich und
wenn du im einen Fall x*(s₁+ a*s_n ) hast  
nimmst du im anderen nur  x*s₁

und musst den Faktor bei sn anpassen.