Trigonometrische Funktionen//Einheitskreis, Werte für Sinus(x°)

Question

Wir haben als HA aufbekommen, die Werte für spezielle Sinus-Werte herauszufinden. sin(90°) = 1 cos(0°) = 1
etc..
Die hab ich alle, dank des einen Tools mit dem Einheitskreis, prima lösen und verstehen können, da diese "einfacheren" Werte wie 90, 0, 180, 270 im Koordinatensystem des Kreises bei -1, 1, 0, etc. liegen. Nun habe ich anschließend mit dem Taschenrechner diese Angaben überprüft. Kein Problem! Jetzt kommen aber Werte wie sin(30°), cos(45°) und sin(60°). Mit dem Taschenrechner habe ich das auch ganz easy lösen können, nur wie kommt darauf? Im Einheitskreis liegen diese Werte ja nicht in zentraler Position, und ergeben durch das teilen der Hypotenuse 1, nicht mehr 1 und 0 heraus. Wie kann ich diese herleiten? Ich habe mal von "Speziellen Dreiecken" gehört, ich vermute ein rechtwinkliges Dreieck mit einem kongruenten Dreieck zusammengelegt, ergibt ja ein gleichschenkliges Dreieck. (vgl. Zeichnung)    Ich hoffe ihr könnt mir helfen, diese Werte zu belegen. sin/cos von (30°; 45° und 60°)   :) Gruß Luis  

Answer 1

Du kannst dir einfach Dreiecke zusammenbasteln. Betrachte z.B. ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge \(a\). Dann zeichnest du auf einer Seite die Höhe \(h\) ein und erhältst so zwei rechtwinklige Dreiecke mit Hypotenuse \(a\) und Katheten \(h\) und \(\frac{a}{2}\). Oben hast du ja selber schon ein entsprechendes Bild angegeben. Jetzt erhält man so

$$\sin(30°)=\frac{GK}{H} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}.$$

Für Kosinus erhält man \(\cos(30°)=\frac{AK}{H} = \frac{h}{a}\). Um \(h\) zu berechnen, wendet man den Satz des Pythagoras an, es gilt \(\frac{a^2}{4} + h^2 = a^2\) und dies ist äquivalent zu \(h^2 = \frac{3a^2}{4}\). Es folgt \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\) und damit erhält man

$$\cos(30°) = \frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ich hoffe, dass die Idee klargeworden ist. Betrachte ein geeignetes Dreieck und bastel dir das dann so ähnlich wie hier zusammen :)

Answer 2

Du hast das doch schon Prima gemacht. Nimm das gleichseitige Dreieck mit der Seitenlange 1 und errechne die Höhe.

h^2 + (1/2)^2 = 1^1 --> h = √3/2

SIN(30°) = Gegenkathete / Hypotenuse = (1/2) / 1 = 1/2

SIN(60°) = Ankathete / Hypotenuse = √3/2 / 1 = √3/2