Untersuchen Sie, wie weit entfernt vom Kreuzfahrtschiff das U-Boot die Meeresoberfläche erreicht. (Vektoren)

Question

Aufgabe:

Das \( U \)-Boot \( U_{1} \) befindet sich um 12:21 Uhr in \( P_{0}(4|14|-4) \) und eine Minute später in \( P_{1}(6|11|-4) \).

In der gleichen Zeit fährt das U-Boot \( U_{2} \) von \( Q_{0}(11|9|-14) \) nach \( Q_{1}(9|6|-12), 1 \mathrm{LE}=100 \mathrm{~m} \).

a) Geben Sie für die Kurse \( u_{1} \) und \( u_{2} \) der beiden U-Boote je eine Geradengleichung an. Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeiten der U-Boote \( 100 \cdot \sqrt{13} \frac{\mathrm{m}}{\min } \approx 361 \frac{\mathrm{m}}{\min } \) und \( 100 \cdot \sqrt{17} \frac{\mathrm{m}}{\min } \approx 412 \frac{\mathrm{m}}{\min } \) betragen.

Begründen Sie, dass die beiden Geraden \( u_{1} \) und \( u_{2} \) nicht parallel sind und berechnen Sie, ob sich die beiden U-Boote auf ihren Kursen näher als 500 m kommen könnten.

b) Das Kreuzfahrtschiff ankert im Punkt \( K(45|2| 0) \). Untersuchen Sie, wie weit entfernt vom Kreuzfahrtschiff das U-Boot \( U_{2} \) die Meeresoberfläche erreicht.

Berechnen Sie die Größe des Winkels, mit dem \( U_{2} \) die Meeresoberfläche erreicht. Berechnen Sie den Abstand der U-Boote zum Zeitpunkt des Auftauchens von \( U_{2} \).

Ansatz/Problem:

Also zu a) Habe ich eigentlich alles gerechnet nur das letzte nicht... "ob sich die beiden U-Boote auf ihren Kursen näher als 500m kommen könnten". Wie geht das?

Bei b) Weiß zwar wie ich den Abstand zwischen beiden ausrechne, aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie das mit Schiff ist, da ja auch kein Richtungsvektor gegegeben ist und wie ich das mit der Meeresoberfläche sehen soll.

Answer 1

a)

U1: x = [4, 14, -4] + r·([6, 11, -4] - [4, 14, -4]) = [4, 14, -4] + r·[2, -3, 0]

U2: x = [11, 9, -14] + r·([9, 6, -12] - [11, 9, -14]) = [11, 9, -14] + r·[-2, -3, 2]

U1: |[2, -3, 0]| = √13 LE = 100·√13 m/min = 360.6 m/min = 21.63 km/h

U1: |[-2, -3, 2]| = √17 LE = 100·√17 m/min = 412.3 m/min = 24.74 km/h

Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, damit sind die Geraden nicht parallel.

Abstand zweier Windschiefer Geraden

d = |[2, -3, 0] ⨯ ([11, 9, -14] - [4, 14, -4])| / |[2, -3, 0]| = 10.46 LE = 1046 m

b)

[11, 9, -14] + r·[-2, -3, 2] = [x, y, 0] --> x = -3 ∧ y = -12 ∧ r = 7

|[45, 2,0] - [-3, -12, 0]| = 50 LE = 5000 m

ARCSIN([-2, -3, 2]·[0, 0, 1]/ABS([-2, -3, 2])) = 29.02°

ARCTAN(2/√(2^2 + 3^2)) = 29.02°

U1: x =[4, 14, -4] + 7·[2, -3, 0] = [18, -7, -4]

|[18, -7, -4] - [-3, -12, 0]| = √482 = 21.95 LE = 2195 m

Comments

Kannst du mir sagen was du bei b) gemacht hast? :D Ist mega nett von dir, dass du alles rechnest, aber ich würde gerne kurz ein Satz haben wie du denkst also was gesucht ist und du dann weißt, was du tun musst :D Vor allem eine Frage noch als Mathe-Experte... du hast sicher einige Abiturprüfungen gesehen... Kommt so eine Aufgabe wie b) also der Anfang nur bei Aufgaben ran, wo Windschiefe gerade vorkommen?

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Du hast recht. Ich habe schon die ein oder andere Abiklausur durchgerechnet.

Die Aufgaben von b) können immer dran kommen.

Es wurde gefragt wie weit vom Kreuzfahrschiff das Uboot U2 auftaucht. Damit weiß ich ich muss erstmal bestimmen wo das Uboot auftaucht. Dann brauche ich nur noch den Abstand der beiden Koordinaten berechnen. Das ist eigentlich eine Grundaufgabe.

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Also den Abstand zu berechnen ist für mich ganz einfach ich frage mich nur wie man immer darauf kommt, dass etwas auftaucht. Wie hier beispielsweise... Da taucht das U-Boot ja auf.

So habe ich es jetzt verstanden.

1. Von Aufgabe a) übernimmst du den Richtungsvektor vom Uboot 2 den du ja vorher ausgerechnet hast nach dem B-A Prinzip, richtig?

2. Und vorher halt Standort Q wie gegeben und dann wie kommst du dann auf  [x, y, 0] --> x = -3 ∧ y = -12 ∧ r = 7?

Durch ein LGS oder wie sehe ich das? Weil die 0 verwirrt mich etwas. 

P.S. Na Gott sei Dank wurde Windschiefe Geraden für 2015 nicht vorgegeben vom Senat, also kommt dieses Jahr in Berlin zumindest nicht ran :D 

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1. Von Aufgabe a) übernimmst du den Richtungsvektor vom Uboot 2 den du ja vorher ausgerechnet hast nach dem B-A Prinzip, richtig?

richtig.

2. Und vorher halt Standort Q wie gegeben und dann wie kommst du dann auf [x, y, 0] → x = -3 ∧ y = -12 ∧ r = 7?

Wir haben das Gleichungssystem

[11, 9, -14] + r·[-2, -3, 2] = [x, y, 0] 

die letzte Zeile ergibt das r. Das eingesetzt kann man noch x und y berechnen.

-14 + 2r = 0 → r = 7

Das also einsetzten und x und y bestimmen.

Die z-Koordinate ist 0 weil nach dem Auftauchen gefragt ist. Ein Uboot welches sich in Höhe des Wasserspiegels befindet hat hier sicher die z-Koordinate 0.

In Hamburg ist Analytische Geometrie eh ein Wahlthema und wird eigentlich von sehr vielen Lehrern gestrichen. Hier kommt aus dem Bereich der linearen Algebra die Matrizenrechnung dran.

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Ahh, jetzt hat es klick gemacht eine perfekte erklärung danke! :)

na in berlin kriegt man jeweils 2 analysis blätter und 2 sachen mit vektoren und stochastik und man sucht sich halt jeweils eins aus. aber analysis kann ich die ableitung leider nicht zumindest nicht die, wo es schwer wird. daher muss wenigstens das sitzen hier :D