Exponentielle Funktion

Question

Das Newton'sche Abkühlungsgesetz T(t) = T_U + (T₀ - T_U) e^kt beschreibt den Temperaturverlauf eines auf die Temperatur T₀ erwärmten Körpers, der z.B. durch eine Umgebung mit konstanter Temperatur T_U abgekühlt wird. T(t) ist die momentane Temperatur (in Grad Celsius) zur Zeit t (in Min.) mit t>0.

a) Bei einer Umgebungstemperatur von 20 Grad hat sich der Körper von anfangs 80 Grad in den ersten 30 Minuten auf 24,7 Grad abgekühlt. Bestimmen Sie k auf drei Dezimalen gerundet.

b) Nach welcher Zeit ist die Temperatur um 30 Grad abgesunken

c) Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Temperatur des Körpers für dieses k in einer Minute um weniger als ein Grad ab?

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte :)

Answer 1

Das Newton'sche Abkühlungsgesetz T(t) = T_U + (T₀ - T_U) e^kt beschreibt den Temperaturverlauf eines auf die Temperatur T₀ erwärmten Körpers, der z.B. durch eine Umgebung mit konstanter Temperatur T_U abgekühlt wird. T(t) ist die momentane Temperatur (in Grad Celsius) zur Zeit t (in Min.) mit t>0.

a) Bei einer Umgebungstemperatur von 20 Grad hat sich der Körper von anfangs 80 Grad in den ersten 30 Minuten auf 24,7 Grad abgekühlt. Bestimmen Sie k auf drei Dezimalen gerundet.

T(30) = 24,7  = 20 + ( 80 - 20 ) * e ^k*30  

gibt k= -0,0849

b) Nach welcher Zeit ist die Temperatur um 30 Grad abgesunken

Ansatz   30 = 20 + 60 * e ^-0,0849*t   

c) Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Temperatur des Körpers für dieses k in einer Minute um weniger als ein Grad ab?   T( t+1) = T(t) - 1

20 + 60 * e ^{-0,0849*(t+1)}   =  20 + 60 * e ^-0,0849*t     - 1

e ^{-0,0849*(t+1)}   =    e ^-0,0849*t     - 1/60

e ^{-0,0849*(t+1)}   -   e ^-0,0849*t    =   -1 / 60

e ^-0,0849*t   * (   e ^-0,0849   - 1 ) = -1 / 60

e ^-0,0849*t   * ( -0,0814 )= -0,0167

e ^-0,0849*t   = 0,2047

-0,0849*t = ln( 0,2047)  = - 1,586

t = 18,67

Nach 18,7 Min nimmt die Temp. weniger als ein Grad pro Min ab.

Answer 2

a) einfach einsetzen was du hast (T_U=20°C, T₀=80°C, T(30min)=24,7°C und t=30min) und nach k umformen:

$$24,7°C = 20°C + (80°C - 20°C) e^{k \ \cdot \ 30min} \\ \Leftrightarrow \quad 4,7°C = 60°C \cdot e^{k \ \cdot \ 30min} \\ \Leftrightarrow \quad \frac{4,7°C}{60°C} = e^{k \ \cdot \ 30min} \ | \ ln() \\ \Leftrightarrow \quad ln \left( \frac{4,7°C}{60°C} \right) = k \ \cdot \ 30min \\ \Rightarrow \quad k = \frac{1}{30 min} \ \ln \left( \frac{4,7°C}{60°C} \right) \approx -0.0848927 \ \frac{1}{min}$$

Ich hoffe, ich konnte dir damit den Umgang mit der Formel etwas erleichtern. Du kannst b) und c) ja selbst probieren und wenn es nicht klappen sollte, meldest du dich hier nochmal. Bei b) musst du dein T(t)=30min setzen und nach t umformen (alles andere ist in der Gleichung ja bekannt) und bei c) musst du die Gleichung T(t+1)=T(t)-1 nach t auflösen.