Zeige das.die Polynome P und Q teilerfremd sind und bestimme S und R

Question

P(X)=X^2. Q(X)=X^4+X+1. Zeigen das P und Q teilerfremd sind und R und S finden sodass. RP+QS=1 gilt. Ich weiss nicht wie ich das machen soll polynomdivision geht hier nicht da Exponent von P grösser als von Q . Ich bitte um Hilfe weiles.noch mehrerer.dieser aufgaben gibt die bis morgen zu lösen sind Und wenn es mit dem euklidischen Algorithmus geht bitte erklären komme echt nicht weiter

Answer 1

Hier kommt der erweiterter euklidischer Algorithmus zur Anwendung.
Zur besseren Lesbarkeit sei das Argument bei  P  und  Q  ausgelassen.

(1)  Q:P = (x⁴ + x + 1):x² = x²  Rest  (x + 1)
⇔ (x +1) = (x⁴ + x + 1) - x²·x² = Q - x²·P.

(2)  P:(x + 1) = x²:(x + 1) = x  Rest  (-x)
⇔ (-x) = P - x·(x + 1) = P - x·(Q - x²·P) = ( x³ + 1)·P - x·Q.

(3)  (x + 1):(-x) = (-1)  Rest  1  (hieraus folgt bereits, dass  P  und  Q  teilerfremd sind)
⇔ 1 = (x + 1) - (-1)·(-x) = (Q - x²·P) - (-1)·[(x³ + 1)·P - x·Q] = (-x + 1)·Q + (x³ - x² + 1)·P.

Damit gilt  PR + QS = 1, wobei  R(x) = x³ - x² + 1  und  S(x) = -x + 1  ist.

Comments

Wie sieht das denn aus, wenn P = x² + x + 1 und Q = x + 2?

1) P : Q = (x²+x+1):(x+2) = (x-1) Rest 3 = P - (x-1)Q

Und dann ? Wie komme ich an R und S ?

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Kann man das vielleicht so rechnen?     1 = hq + kp = h*(x+2)+k*(x²+x+1)

Da p und q teilerfremd ist, kann man  h und k mithilfe des euklidischen Algorithmus berechnen:

x²+x+1 = (x+2)(x-1)+3

x+2 = 3*(1/3x+1/3)+1

Nun stellt man quasi rückwärts um:

1 = (x+2) - (1/3x+1/3)*3 = (x+2) - (1/3x+1/3)*[x²+x+1-(x+2)(x-1)]

= (x+2) - (1/3x+1/3)(x²+x+1) + (1/3x+1/3)(x+2)(x-1)

= (x+2)(1+(1/3x+1/3)(x-1)) - (1/3x+1/3)(x²+x+1)

Somit ist h = 1+(1/3x+1/3)(x-1) = 1/3x²+2/3 und k = -1/3x-1/3

Mache ich nun die Probe kommt aber nicht mehr 1 raus. Wo ist mein Fehler? Stimmt der Ansatz überhaupt?

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Du hast es schon fast beschrieben:
P:Q = (x² + x + 1):(x + 2) = x - 1  Rest  3
⇔ 3 = P + (1 - x)·Q.
Damit gilt  PR + QS = 3  mit  R(x) = 1  und  S(x) = 1 - x.