Wie kommt man von der Funktion f(x)=x^2 auf die Steigung der Tangente von 6 und die Sekantensteigung 6+h?

Question

Weitere Beispiele zur Berechnung von Tangentensteigungen

Wir zeigen jetzt, wie man den Differentialquotienten für eine gegebene Funktion anwendet:

Fomel:

\( m_{1}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \)

Beispiel 2:

Gegeben sei die Funktion \( f(x)=x^{2} \)

Es soll mit Hille des Ditterenalquotienten die Steigung der Tangente im Kurvenpunkt P(3|9) berechnet werden. (Kurvensteigung an der Stelle \( x_{0}=3 \) )

1) Sekantensteigung:
\( \begin{aligned} m_{2}=& \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{2}\right)}{h}=\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\\ & \frac{(3+h)^{2}-3^{2}}{h}=\frac{9+6 h+h^{2}-9}{h}=\frac{6 h+h^{2}}{h}=\\ & \frac{h(6+h)}{h}=6+h \end{aligned} \)

2) Tangentensteigung:

\( m_{t}=\lim \limits_{t \rightarrow 0} \\ m_{2}=\lim \limits_{h \rightarrow 0}(6+h)=6 \)

Die Tangente an dem Graphen der Funktion \( f(x)=x^{2} \) an der Stelle \( x_{0}=3 \) besitzt die Steigung \( m_{3}=6 \)

Gleichung der Tangente durch den Kurvenpunkt P(3|9):

\( \left\langle t: y_{p}=6 x_{p}+q \rightarrow 9=6 \cdot 3+q \rightarrow q=-91\right. \)

Ansatz/Problem:

Wie kommt man von der Funktion f(x)=x^2 auf die Steigung der Tangente von 6 und die Sekantensteigung 6+h, wenn der Kurvenpunkt der Steigung der Tangente bei P(3/9) ist.

Answer 1

f(x) = x^2

Ganz allgemein

m = (f(x + h) - f(x)) / h

m = ((x + h)^2 - x^2) / h

m = (x^2 + 2·h·x + h^2 - x^2) / h

m = (2·h·x + h^2) / h

m = 2·x + h

Also die Steigung der Sekante ergibt sich für x = 3 aus

m = 2·3 + h = 6 + h

Die Steigung der Funktion an der Stelle ergibt sich aus dem Grenzwert für h --> 0 also

m = 6 + 0 = 6