Beweis euklidische Norm. Dreiecksungleichung?

Question

Es soll für $$ { \left\| v \right\|  }_{ \infty  }=\max { \{ \left| { v }_{ 1 } \right| ,\dots ,\left| { v }_{ n } \right| \}  } $$

gezeigt werden, dass diese die drei Normen (Nullvektor, Homogenität und Dreiecksungleichung) erfüllen.

Eigenschaft 1 und 2 lässt sich noch sehr gut nachvollziehen. Bei der Dreiecksungleichung habe ich aber meine Schwierigkeiten.

Bisher habe ich:$${ \left\| u+v \right\|  }_{ \infty  }=\max { \{ \left| { u }_{ 1 }{ +v }_{ 1 } \right| ,\dots ,\left| { u }_{ n }{ +v }_{ n } \right| \}  } =\max { \{ \left| { u }_{ 1 } \right| ,\dots ,\left| { u }_{ n } \right| \}  } +\max { \{ \left| { v }_{ 1 } \right| ,\dots ,\left| { v }_{ n } \right| \}  } ={ \left\| u \right\|  }_{ \infty  }+{ \left\| v \right\|  }_{ \infty  }$$

Was meines erachtens nicht stimmt. Bei der zweiten Gleichheit bin ich mir sehr unsicher, dort ist doch nun auch möglich dass zwei unteschiedliche Ergebnisse max{|u1+v1...} und (max{u1..}+max{v1...}) heraus kommen.

Kann mir jemand helfen meine Unsicherheit hier zu beseitigen?

Vielen Dank

Answer 1

Bei der zweiten Gleichheit benutzt du einfach ein kleiner gleich.

Dann hast du es gezeigt.

Answer 2

die Gleichheit gilt auch nicht im Allgemeinen, aber diese wollen wir ja auch gar nicht zeigen.

Was wir eigentlich wollen:

$$\begin{aligned} \|u+v\|_{\infty} &= \max \{|u_1+v_1|, \dots, |u_n + v_n| \} \\   &\leq \max\{ |u_1|+|v_1|, \dots, |u_n| + |v_n| \} \\ &\leq \max\{|u_1|, \dots, |u_n| \} + \max \{|v_1|, \dots, |v_n \} \\ &= \|u\|_{\infty} + \|v\|_{\infty}  \end{aligned}$$

Gruß