Produkt abzählbarer Mengen wieder abzählbar

Question

Wie zeige ich die Abzählbarkeit des Produktes von abzählbaren Mengen?

 ℕ n 

Ich möchte es mit Induktion und dem Diagonalargument nach Cantor zeigen.

(Das Nullstellige und Einstellige sind nicht abzählbar??)

Für das zweistellige Produkt (Induktionsanfang) erstelle ich das Diagonalargument und gebe jeder natürlichen Zahl einen Partner(In Form eines zweistelligen Produktes)

Wie geht es dann mit der Induktion weiter?

Comments

Kannst du nicht

https://www.mathelounge.de/64068/bijektion-mengen-suche-explizite-bijektion-zwischen-nxnxn

oder https://www.mathelounge.de/5758/analysis-aufgabe-kopfzerbrechen-abzahlbare-gleichmachtige

geschickt auf deine Fragestellung ummodeln? (Mit den Indices der Elemente beider Mengen arbeiten)

Ich finde Induktion ist nicht nötig und lese "abzählbar" als "abzählbar unendlich".

Answer 1

Hi,

für den Induktionsschritt: Sei \( \varphi: \mathbb{N}^n \to \mathbb{N}\) Bijektion.

Betrachte nun:

$$\begin{aligned} \eta: \mathbb{N}^{n+1}& \to \mathbb{N}^2 \\ (k_1, \cdots, k_{n+1} ) & \mapsto (\varphi(k_1, \dots, k_n), k_{n+1}) \end{aligned}$$

PS: \( \mathbb{N}^1\) soll deiner Meinung nach nicht abzählbar sein?

Gruß