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Ist jemand im mathe Forum gut mit wahrscheinlichkeiten, falls ja brauche ich unbedingt Hilfe.


max und moritz zwei schachspieler tragen ein turnier aus sieger ist wer als Erster 2 Spiele gewonnen hat max hat bereits das erste spiel gewonnen welche gewinn spiel Wahrscheinlichkeit p muss er haben wenn die chancen für den Turniersieg nach dem ersten Sieg von max für beide gleich groß sein sollen?


Grüße gehen raus

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Hi,

Edit: Aufgrund des guten Hinweis vom Gast und damit man nicht den ganzen Verlauf nachlesen muss

Ohne Unentschieden:

es muss gelten:

$$ (1-p)^2 = 0.5 \wedge p + (1-p)\cdot p = 0.5 $$

Beide Gleichungen sind äquivalent.

Aus der 1. Gleichung folgt direkt: \(\large p = 1- \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Mit der Möglichkeit auf Remis:

\(p\): Wahrscheinlichkeit das Max ein Spiel gewinnt

\(q\): Wahrscheinlichkeit das Moritz gewinnt

\(r\): Wahrscheinlichkeit für ein Remis

Dann ist die Wahrscheinlichkeit \(P\), dass Max das Turnier gewinnt der Grenzwert:

$$P = p \sum_{k=0}^{\infty} r^k + qp \sum_{k=1}^{\infty}kr^{k-1} = \frac{p}{1-r} + \frac{qp}{(1-r)^2} $$

Die Wahrscheinlichkeit \(Q\), dass Moritz das Turnier gewinnt der Grenzwert:

$$ Q =q^2 \sum_{k=1}^{\infty} kq^{k-1} =  \frac{q^2}{(1-q)^2} $$

Diese Wahrscheinlichkeiten sollen gleich sein:

$$ P = Q $$

Unter der Verwendnung von \(1-r = p+q \) suchen wir also die Lösungen der Gleichung:

$$ p^2+2qp = q^2 $$

Es ergeben sich unendlich viele Lösungen, wobei der Zusammenhang

$$ p = q(\sqrt{2}-1) $$

besteht.

Insgesamt ergibt sich dies jedoch weiterhin zu der Lösung: \( P = Q \approx 0.5 \), da die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden unendlich weiter spielen gegen 0 tendiert.

Gruß

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Vielen dank

Büßt du dir bei diesem Ergebnis sicher.

Was hast du denn für p eingesetzt

Ja, bin ich.

Nichts, es wird ja nach dem \(p\) gefragt. Das sollst du mittels einer der Gleichungen oben berechnen.

Verstehe immer noch nicht wie du auf 0,5 gekommen bist, ist das die Lösung.

Stehe echt auf den schlauch.

Es gibt 2 Möglichkeiten. Entweder Max gewinnt das Turnier oder Moritz. Wenn beide dieselbe Wahrscheinlichkeit haben soll dann ist diese 50%.
Das 1.Spiel hat Max gewonnen. Wie kann das Turnier also noch weiter gehen?\(p\) ist die Wahrscheinlichkeit das Max ein Spiel gewinnt, und dementsprechend \(1-p\) das Moritz ein Spiel gewinnt.
Zeichne dir ein Baumdiagramm dann sollte die Entstehung der Gleichungen klar werden.

Also 0.5 =50%

Bin echt nicht gut im baumdiagramn zeichnen.

Danke für deine Hilfe.

Ein Schachspiel kann doch aber auch Remis ausgehen. Also müsste doch die Wahrscheinlichkeit für Moritz ein Spiel zu gewinnen kleiner als \(1-p\) sein.

blicke gar nicht mehr durch

Oha, das habe ich natürlich gar nicht beachtet (sicher das die Aufgabenstellung diese Möglichkeit miteinbezieht? Auf welchem Niveau befinden wir uns hier, dachte eher an eine Schulaufgabe). Dies würde das ganze ein wenig komplizierter machen. Es gibt eventuell eine einfachere Herleitung aber hier kurz der Anriss:

\(p\): Wahrscheinlichkeit das Max ein Spiel gewinnt

\(q\): Wahrscheinlichkeit das Moritz gewinnt

\(r\): Wahrscheinlichkeit für ein Remis

Dann ist die Wahrscheinlichkeit \(P\), dass Max das Turnier gewinnt der Grenzwert:

$$P = p \sum_{k=0}^{\infty} r^k + qp \sum_{k=1}^{\infty}kr^{k-1} = \frac{p}{1-r} + \frac{qp}{(1-r)^2} $$

Die Wahrscheinlichkeit \(Q\), dass Moritz das Turnier gewinnt der Grenzwert:

$$ Q =q^2 \sum_{k=1}^{\infty} kq^{k-1} =  \frac{q^2}{(1-q)^2} $$

Diese Wahrscheinlichkeiten sollen gleich sein:

$$ P = Q $$

Unter der Verwendnung von \(1-r = p+q \) suchen wir also die Lösungen der Gleichung:

$$ p^2+2qp = q^2 $$

Es ergeben sich unendlich viele Lösungen, wobei der Zusammenhang

$$ p = q(\sqrt{2}-1) $$

besteht.

Insgesamt ergibt sich dies jedoch weiterhin zu der Lösung: \( P = Q \approx 0.5 \), da die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden unendlich weiter spielen gegen 0 tendiert.

Gruß

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Sollte passen. Ich hab es mal ausgeschrieben:Bild Mathematik
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Warum ist \(p(O)=1-p(A)\)? Eine Partie kann doch auch Remis enden.

Hmmm, gute Frage. Aber ich geh jetzt mal davon aus, dass es nur um die Gewinne geht. Die Anzahl der Spiele ist nicht gegeben und daher könnte man ja "unendlich" viele Spiele machen, wenn die beiden immer unentschieden spielen.

Da würde ich aber zur Sicherheit bei einer Schulaufgabe nachfragen, da hast du Recht.

Ohne die Möglichkeit des Untentschiedens würde ich es so machen:

Bild Mathematik

Was ja im grunde nichts anderes ist als eine umständliche Herleitung von dem, was ich zu beginn beschrieben habe, wobei man durch Lösung der Gleichung

$$ (1-p)^2 = 0.5 $$

Schneller auf das Ergebnis kommt.

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