Beweis ob Teilmenge A offen oder abgeschlossen ist

Question

\( \text{Sei } X:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | x \neq 0\right\} \)

Als Teilmenge von \( \mathbf{R}^{2} \) wird \( X \) zu einem metrischen Raum. Bestimmen Sie für jede der folgenden Teilmengen \( A_{i} \) von \( X(i=1, \ldots, 4), \) ob \( A_{i} \) offen und/oder abgeschlossen in X ist:
$$ \begin{aligned} A_{1} &:=\{(x, y) \in X | y>0\} \\ A_{2} &:=\{(x, y) \in X | y \leq 0\} \\ A_{3} &:=\{(x, y) \in X | x>0\} \\ A_{4} &:=\left\{(x, y) \in X | y \leq x^{2}\right\} \end{aligned} $$

Das ist die Aufgabe und wir haben ja die Definition bekommen, dass eine Menge offen ist, wenn man um einen Punkt in der Menge noch ein Kreis mit dem Radius r ziehen kann. ich kann mir das logisch ganz klar vorstellen aber wie kann ich das mathematisch beweisen?

Answer 1

Also zunächst einmal für die Vorstellung:

Die Menge X besteht aus allen Punkten im IR² ohne die Menge der Punkte mit x=0, also ohne die y-Achse.

Ich mach dir jetzt A₁ mal vor, vielleicht kommst du dann ja weiter.

Für einen Element (x₁ , y₁) aus A₁ gilt: y1>0 und x1≠0, da A1 ja eine Teilmenge von X ist.

Jetzt ist der Abstand r gesucht, so dass der Kreis um (x1,y1) mit Radius r noch ganz in der Menge A1 liegt. Dieses r ist natürlich nicht für jedes Element aus A1 gleich, da man ja beliebig nahe an den Rand rangehen kann.

Hier könnten man zum Beispiel wählen: Sein r=min{y₁/2 , x₁ /2}. Mal dir das mal auf, um dir klar zu machen warum das funktioniert, dann sollte auch das mit dem Aufschreiben klar sein. Die Lösung kannst du ja posten wenn du nicht sicher bist.

Und vielleicht noch zu A2: Diese Menge ist nicht offen. Um das zu zeigen genügt es einen einzigen Punkt anzugeben, für den kein Radius die gewünschten eigenschaften hat. Und von diesen Punkten gibt es eine ganze Menge, zusammen ist das fast eine ganze Gerade ;-)

Comments

Zu dem ersten würde ich dann schreiben:

Sei a1=(x1/y1) element aus A1. Wähle r=min(x1/2 , y1/2), sodass

B(r,a1) Teilmenge von A1. Mehr nicht?

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und ich verstehe nicht wieso A2 nicht offen ist. Ich habe mir das aufgemalt und überlege gerade welche gerade du meinst. Vermutlich ja die xachse denn das ist das einzige was A2 von A1 unterscheidet (nurhalt vorzeichen). aber wieso sollte die x achse ausschließlich x=0 nicht in X liegen? oder halt die kreise um die punkte zB x=8 mit radius 4

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Also geht das so:

A1 offen

A2 abgeschlossen

A3 offen

A4 offen und abgeschlossen?

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Wenn du bei A2 einen Punkt a:=(1,y) auf der x-Achse wählst, gibt es dann ein r>0, sodass B_r(a) ⊂ A2? Nein, da du auf jeden Fall in dem positiven Bereich (hiermit meine ich y>0) landest für r>0, dieser gehört aber nicht zu A2.

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Das ist die Antwort auf?

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Ich merke gerade, dass r=min{|x1/2|,y1/2} besser ist, da x1 ja auch negativ sein kann.

Zum ersten musst du natürlich begründen warum der Ball ganz in A1 liegt. Also warum für einen Punkt a2(x2 , y2) in B(r,a1) noch immer gilt: x2≠0 und y2>0.

Fange mal so an: |x2|>...>0 und ebenso y2>...>0.

 

Zu A2 hat hanswurst ja grade schon richtig geantwortet.

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Zu Hat3r:

A1: offen

A2: weder offen noch abgeschlossen

A3: offen

A4: weder offen noch abgeschlossen

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A2: weder offen noch abgeschlossen?

Stimmt A2=X \ A1 nicht? Denn nach Definition ist A abgeschlossen, wenn X \ A offen ist.

Demnach wäre A2 abgeschlossen, da A1 offen ist, oder nicht?

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Oh, Mist da hast du natürlich absolut recht. Ich habe das ganze blöderweise im IR^2 betrachtet. In X ist A2 natürlich abgeschlossen.

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|x2|>|x2-x2/2|=|x2/2|>0 ?? das isses nämlich für mich würde das obige schon reichen da ich das total klar finde :D naja und
y2>y2-y2/2=y2/2>0 ?

Mhh vielleicht wäre es besser wenn einer mit mal den richtigen weg aufschreibt und ich dann danach gehen kann,. ?

Somit verstehe ich jetzt auch A2 aber wie ich das mathematisch aufschreibe und beweise will mir nicht einfallen

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Und warum soll jetzt x2≠0 und y2≠0 sein?

Damit bewist du nur dass wenn x/2≠0, ist auch x≠o, das ist keine Erkenntnis. Denke nochmal nach und schau dir r genau an.

Nehmen wir bei A2 zum Beispiel den Punkt (1,0), dann befindet sich für jedes beliebiges r>0 der Punkt (1,r/2) in der r-Umgebung, der liegt aber nicht in A2, also ist A2 nicht offen.

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Zu A3: offen und abgeschlossen.

A3:={(x,y)€IR^2 | x>0} => offen

Da x≠0 nach Definition von X, ist X \ A3 = {(x,y)€IR^2 | x<0} => offen, also A3 abgeschlossen

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ja ich mein wenn (x1/y1) unser mittelpunkt vom kreis ist und in A1 liegt. dann ist doch schon von vornhinein klar das x1 ungleich 0 ist, da A1 teilmenge von X ist und x=0 nicht in X liegt. Und wenn ich von diesem x1 nur die hälfte abziehe muss das ergebnis auch ungleich 0 sein. ? Sry wenn ich gerade schwer von begriff bin :/

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Ja, hanswurst, das ist natürlich auch richtig, leider kann ich meinen Kommentar von vorhin nicht bearbeiten, wie gesagt ich war für kurze Zeit wegen geistiger Umnachtung im R^2.

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Ich wollts nur nochmal hinschreiben, nicht, dass hier irgendwer dann denkt, sein Ergebnis sei falsch :)

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Und zu anonym:

Sei a1=(x1,y1) und r wie oben das Minimum...

das Element (x2 , y2) soll jetzt in B(3,a1) liegen. Das heißt insbesondere |x1-x2|<r und |y1-y2|<r.

Jetzt muss man zeigen, dass x2≠0, oder gleichbedeutend, dass |x2|≠0.

Es ist |x2|>|x1|-r=|x1|-min{|x1/2| , y1/2}= entweder |x1/2|>0, falls |x1|<y1 oder |x1|-y1>|x1/2|>0 falls y1<|x1|.

Also ist |x2|>0 und damit x2≠0.

 

Bekommst du das jetzt auch mit y2 hin?

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jaa bekomm ich hin.

zu A4) kann man doch so ähnlich argumentieren wie bei A2 oder?

Nehme ich zb den Punkt (1/1) der in A4 lieg. wähle bel. r>0 so liegt der punkt (1/1+r/2) in der r-umgebung aber nicht mher in A4 also ist A4 nicht offen. und daher abgeschlossen ?

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Nochwas zu A4: A4 ist nicht offen in X (wähle einen Punkt mit y=x^2, beispielsweise
(1, 1)).

A4 ist abgeschlossen in X. Wählt man r:=min{ |√(x₄)/2|, |y₄/2| }, um das zu zeigen?

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nicht offen, richtig

und daher abgeschlossen, falsch

offen und abgeschlossen sind Eigenschaften, die wenn man eine negiert nicht automatisch die andere ergeben.

So ist das Intervall (0,1] weder offen noch abgeschlossen, während wie von Hanswurst oben gezeigt, A3 sowohl offen als auch abgeschlossen in X !!! ist.

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Zu A4:

um abgeschlossen zu zeigen, hilft hier denke ich nur, Komplement offen zu zeigen.

aber hanswurst, ich denke es sollte eher sowas wie 0,5*min{x4-√x4 , (y4-(x₄²))} sein, oder so ähnlich...

 

Answer 2

Schau mal hier meine Antwort; hierin fordere ich dich auf, dich an Hand des Lehrbuches von Alain Robert in die NSA von ===> Edward Nelson einzuarbeiten:

https://www.mathelounge.de/231507/beweis-offene-und-geschlossene-teilmenge-des-r-2

Wenn du etwas nicht verstehst, formuliere bitte weitere Fragen. aber ich kann hier unmöglich bei Adam und Eva anfangen. Unter dem Link wurde ausgeführt

Satz 1

Eine Teilmenge O des |R ^ n ist offen <===> Für alle begrenzten x gilt

x* € O ===> x € O      ( 1a )

Und für Abgeschlossen hast du die duale Aussage

Satz  2

Eine Teilmenge A des |R ^ n ist abgeschlossen <===> Für alle begrenzten x gilt

x € A ===> x* € A   ( 1b )

Die Menge A1 ist offen.   Ich setze y * =: U > 0 ; dann ist aber

| y - y * | = inf < U ===> y > 0   ( 2 )

A2 ist hoch intressant; die ist nämlich weder offen noch abgeschlossen. Unser Assistent sagte mal in anderem Zusammenhang

" Sie rechnen hier rum wie die Weltmeister. Wenn doch auf dem Aufgabenzettel steht: Widerlegen Sie die Behauptung Pipapo. WAS tun Sie dann? "

" ein Gegenbeispiel anführen. "

" richtig. Und ob Ihnen dieses Beispiel der liebe Gottt vorgesagt hat, intressiert hier im Fachbereich absolut keinen. "

Die NSA macht genau diese Idealforderung wahr. Wenn ich " Offen " widerlegen will, führe ich genau einen Punkt an, der Forderrung ( 1a ) widerlegt; bei Abgeschlossen entsprechend.

Für € > 0 ( Wir erinnern uns: Griechische Buchstaben bezeichnen inf Größen ) setze ich

z := ( 1 | €  )     ( 3a )

Das liegt ja eindeutig nicht in A2 , siehe € > 0 . Aber

(z*) = ( 1 | 0 ) € A2   ( 3b )

Und als Gegenbeispiel für Abgeschlossen dient uns der Punkt; wieder € > 0

z := € ( -1 | -1 ) € A2 ===> (z)* = ( 0 | 0 )   ( 4 )

Schau mal in der Definition; in allen 4 Aufgaben war x = 0 ausdrücklich ausgenommen, insbesondere der Ursprung.

Die A4 geht ganz ähnlich. Zunächst widerlege ich Offen.

z := ( 1 | 1 + € ) ===> (z)* = ( 1 | 1 ) € A4    ( 5 )

Auch hier liegt z wieder " knapp drüber " ; widerlegt somit die Behauptung.

Um die Eigenschaft " offen " zu widerlegen, betrachten wir

z := ( € | € ² )  € A4 ===> (z)* = ( 0|0 )