Berechnen Sie f(g(x)). Ist g die Umkehrfunktion von f?

Question

Aufgabe Umkehrfunktionen:

Gegeben sind die Mengen \( M=\mathbb{R} \backslash\{-2,0,2\} \) und \( N=\mathbb{R} \backslash\{0\} \) und die Funktionen

\( f: M \rightarrow N: x \mapsto \frac{2 x}{x^{2}-4}, \quad g: N \rightarrow M: x \mapsto \frac{1+\sqrt{1+4 x^{2}}}{x} \)

(a) Berechnen Sie \( f(g(x)) \). Ist \( g \) die Umkehrfunktion von \( f \) ?

(b) Geben Sie Teilmengen \( \tilde{N} \subseteq N \) und \( \tilde{M} \subseteq M \) so an, dass die jeweiligen Einschränkungen von \( f \) und \( g \) Umkehrfunktionen voneinander sind.

(c) Bestimmen Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} g(x) \).

(d) Skizzieren Sie die Graphen von \( f \) und \( g \) und markieren Sie die Graphen der Einschränkungen aus (b).

Answer 1

f(g(x)) = 2*(1+√(1+4x^2)/x)    /   (   (1 + √(1+4x^2) ) ^2 ) / x^2 - 4   )             4= 4x^2 / x^2
2*(1+√(1+4x^2)/x)    /   (   (1 + √(1+4x^2) ) ^2    -4x^2 ) / x^2

= 2*(1+√(1+4x^2)/x)    /   (   (1 + 2√(1+4x^2) + 1 + 4x^2 -4x^2 )  / x^2  )
=  2*(1+√(1+4x^2)/x)    /   (    (2+ 2√(1+4x^2) )  /   x^2  )
=  2*(1+√(1+4x^2)/x)    /   (  2* (1  +  √(1+4x^2)) / x^2  )

1, Bruch mal Kehrwert des 2.

= x^2 *  2* (1+√(1+4x^2))  /  x * 2* (1  +  √(1+4x^2))
= x

f besitzt keine Umkehrfunktion, da z.B f(1+√(5)) =1 und f(1- √(5)) =1

Also ist f nicht injektiv.

Answer 2

Hier schon einmal die Bildung der Umkehrfunktion

mfg

Comments

Na ja. Ich sehe gerade : das war nicht gefordert.

f ( x ) = 2 * x / (  x^2 - 4 )

f ( g ( x )) = f ( ( 1 + √ ( 4x^2 + 1 ) ) / x ) = ...

jetzt mußt du überall wo bei Formel f  x steht
g einsetzen. Das ist eine ziemliche Rechnerei.
Als Ergebnis muß x herauskommen.
f ( g (x) ) = x

~plot~ 2 * x / ( x^2 - 4  ) ; [[ -2 | 2 | -6 | 6  ]] ~plot~ 

Answer 3

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%282x%29%2F%28x%5E2-4%29%2C+g%28x%29%3D+%281+%2B+√%281%2B4x%5E2%29%29%2Fx+

Zur Frage nach der Umkehrfunktion. Im Bereich -2 ≤ x ≤2 wir das nicht stimmen, denn die Graphen von Umkehrfunktionen sind symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden im 1. Quadranten.

Graphisch sieht es aber gut aus für die Bereiche x<-2 und x> 2.

f(x) = (2x)/(x^2-4), g(x)= (1 + √(1+4x^2))/x 

a)  du musst erst mal einsetzen

f(g(x))  = (2(1 + √(1+4x^2))/x ))/((1 + √(1+4x^2))/x)^2-4)

und nun vereinfachen.

= (2(1 + √(1+4x^2))/x ))/((1 + √(1+4x^2))^2)/x^2)-4)

= (2(1 + √(1+4x^2))/x ))/((1 + √(1+4x^2))^2 - 4x^2)/x^2)

= (2(1 + √(1+4x^2)) ))/((1 + √(1+4x^2))^2 - 4x^2)/x)

= ((2 + 2√(1+4x^2)) ))/((1 + 2√(1+4x^2) + (1+4x^2) - 4x^2)/x)

= ((2 + 2√(1+4x^2)) ))/((2 + 2√(1+4x^2))/x)

= 1/(1/x)

= x

Beachte: Alle Funktionswerte von g(x) sind betragsmässig grösser als 2. Daher ist f nur Umkehrfunktion von g für |x|>2.

c)

lim g(x)

= lim (1 + √(1+4x²))/x

= lim  (1/x  + √(1+4x²))/x )

= lim  (1/x  + 2x√(1/(4x^2)+1))/x )

= lim  (1/x  + 2√(1/(4x^2)+1)) )             | Grenzübergang x gegen unendlich.

= 0 + 2√(0 + 1)

= 2