Wie funktionieren Umkehrfunktionen und wie kann ich diese berechnen?

Question

Hallo.

Ich habe in der Schule das Thema Umkehrfunktionen. Mein Problem ist, dass ich das Prinzip davon nicht wirklich verstehe.

f(x) wäre ja dann f^-1(x) aber warum ist das überhaupt so?

Dann gibt es ja auch noch eine gewisse "Beschränktheit der Umkehrfunktionen", da ist dann die Umkehrfunktion nicht eindeutig.

Ich habe leider kein Video dazu gefunden und wäre wirklich froh, wenn ihr mir das erklären könntet.

Liebe Grüsse

Estelle

Answer 1

Die Umkehrfunktion kommt zustande wenn du die x und y-Koordinate vertauscht.

Mal angenommen Du hast die Funktion die einem kg- Hänchenfilet den Preis in Euro zuordnet.

y = 9.9 * x

Nun kannst du leicht beantworten wie Teuer 5 kg Hänchenfleich sind.

Was du nicht so einfach beantworten kannst ist wie viel Hähnchenfleisch du für 30 Euro bekommst.

Dafür hat man den Funktionsterm gleich 30 gesetzt und aufgelöst.

Das geht aber auch allgemein mit der Umkehrfunktion

y = 9.9 * x

x = y / 9.9

Da eine Funktion immer y in Abhängigkeit von x ist vertauscht man noch x und y.

y = x / 9.9

Hiermit kannst du jetzt sehr schnell berechnen wie viel kg Hähnchenfleich man für eine bestimmte Menge an Euros bekommt.

Das nur erstmal grundsätzlich zur Umkehrfunktion.

Das Du kein Video finden konntest finde ich merkwürdig

https://www.youtube.com/results?search_query=umkehrfunktion

Answer 2

Die Umkehrfunktion von f nennt man f^-1. Das Vegeben von Namen kann man mathematisch nicht  begründen. Warum heißt der Krokus "Krokus"?

Eine Funktion z.B. mit der Gleichung y=x² ordnet jeder Zahl für x des Definitionsbereichs  genau eine Zahl y zu. Das liegt an dem Begriff "Funktion", der diese Eindeutigkeit verlangt.

Die Umkehrfunktion bildet man in zwei Schritten 1. Vertauschen von x und y; 2. Auflösen nach y. Im Falle y=x² ergibt sich dann 1. x=y² und 2. y=±√x. Damit gibt es hier zu jeder Zahl x genau zwei Werte von y.  y=±√x ist also nicht die Gleichung einer Funktion. Z.B. für x=4 gibt es y=+2 und y=-2. Damit hat y=x² keine Umkehrfunktion (die Umkehrung ist keine Funktion mehr). Wenn man sich aber auf einen Parabelast (sagen wir rechts vom Scheitelpunkt) beschränkt, dann hat dieser Ast eine Umkehrfunktion.

Comments

y=±√x. Damit gibt es hier zu jeder Zahl x genau zwei Werte von y.
Sicher?

---

Also gut, die 0 ist die einzige Ausnahme.