Umkehrfunktionen bestimmen: a) f(x)=2x^2-8x+8 b) f(x)= -1/2x^2+3x-5/2

Question

Ich kome bei dieser Aufgabe nicht weiter, bitte um schnelle Hilfe.

 

a) f(x)=2x²-8x+8

b) f(x)= -1/2x²+3x-5/2

 

1. Schränken Sie den Def. Bereich von f so  ein das die Funktion umkehrbar ist. + Scheitelpunktform

2. Bestimme die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion von f

3. Zeichnen Sie beide Graphen

4. Bestimmen die den Definitions- und Wertebereich beider Funktionen.

 

Vielen Dank schon mal.

Answer 1

Umwandlung in Scheitelpunktform:

f(x) = 2·x^2 - 8·x + 8
f(x) = 2·(x^2 - 4·x) + 8
f(x) = 2·(x^2 - 4·x + 4 - 4) + 8
f(x) = 2·((x - 2)^2 - 4) + 8
f(x) = 2·(x - 2)^2 + 0

Das ist jetzt die Scheitelpunktform. Hier kann man jetzt eigentlich auch erkennen, wie man Definitionsbereich und Wertebereich einschränken muss.

Umkehrfunktion

2·(x - 2)^2 = y
(x - 2)^2 = y / 2
x - 2 = √(y / 2)
x = 2 + √(y / 2)
y = 2 + √(x / 2)

Wenn du es dir einfach machen Willst setzt du dich zuerst an die zeichnung und überlegst dir dann die Lösung der anderen Fragen und eventuell eine Herleitung wie man darauf kommt.

Comments

Sorry. Ich verstehe kein Wort.

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Da sind ja auch kaum Worte drin. Probier bei den Gleichungen man eine Zeile zu verstehen und schau dir dann die nächste Zeite an und versuche zu verstehen wie man von der einen Zeile auf die andere Kommt. Wenn du tatsächlich irgendwas nicht verstehst sag genau was du nicht verstehst. Also gib die beiden Zeilen an bei deren Übergang es mit dem Verständnis nicht funktioniert.

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Wie diese Berechnung zustande kommt kann ich ja noch nachvollziehen, was mit Probleme macht ist die Zeichnung und wie ich aus der Zeichnung den Definitions-bzw. den Wertebereich ablesen kann.

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Also selbst wenn man fast keine Ahnung von Funktionen hat, sollte man eine Wertetabelle hinbekommen. Also y-Koordinaten durch einsetzen irgendwelcher x-Koordinaten ausrechnen und diese dann in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Wenn man etwas geschickter ist und weiß, dass der Scheitelpunkt bei (2 | 0) ist kann man hier gleich die Parabel mit dem Öffnungsfaktor von 2 einzeichnen. Aber generell solltest du die erste Möglichkeit hinbekommen.

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Sorry bin zu blöd dafür. Trotzdem Danke.

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Stimmt diese Zeichnung?

 

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Nein. Das sollte wie folgt aussehen

Man beachte die erste Hauptdiagonale. Das ist die Spiegelachse an der man eine Funktion spiegelt um die Umkehrfunktion zu bekommen.

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Wie berechne ich bei der 2ten Aufgabe die Funktionsgleichung der Umkehfunktion? Damit wäre mir sehr geholfen.

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Man braucht die Scheitelpunktform nur einfach nach x auflösen und dann x und y vertauschen.

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f(x)= -1/2·x² +3x−52
-2·f(x) = x² −6x+5

-2·f(x) = x² −6x+9−9+5

-2·f(x) =(x− 3)² −4

f(x)= -1/2·(x - 3)² +2

Stimmt das soweit? Mit der Umkehrfunktion komme ich aber wirklich nicht weiter, zeichnen und Definitions bzw. Wertebereich krieg ich eventuell hin aber bei der umkehrfunktion brauch ich wirklich Hilfe.

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f(x) = - 1/2·x^2 + 3·x - 5/2 = - 1/2·(x - 3)^2 + 2

- 1/2·(x - 3)^2 + 2 = y

- 1/2·(x - 3)^2 = y - 2

(x - 3)^2 = 4 - 2·y

x - 3 = √(4 - 2·y)

x = 3 + √(4 - 2·y)

y = 3 + √(4 - 2·x)

Skizze