Analysis - Zeigen, dass alle Funktionen fk genau zwei gem. Punkte haben

Question

fk(x)=x^4+(k-1)x³-kx²

Ich habe mir zwei versch. Parameter (k1 und k2) ausgedacht und dann folgendes gemacht:

(k1-1)x³-k1x²=(k2-1)x³-k2x²    (x^4 kann ich ja rauskürzen)

x²((k1-1)x-k1)=x²((k2-1)x-k2)

→x=0 (Erster gem. Punkt, da ja dann 0=0 (wahre Aussage) gilt)

→ (k1-1)x-k1 = (k2-1)x-k2    (Ich habe durch x² geteilt)

(k1-1)x-(k2-1)x = k1-k2

x((k1-1)-(k2-1)) = k1-k2

x*(k1-k2) = k1-k2

→ x=1   (Da ich dann wieder eine w. A. und somit einen weiteren gemeinsamen P. habe)

So habe ich vor meiner Lehrerin argumentiert ;). Sie meinte jedoch, dass dies mathematisch nicht nachvollziehbar wäre und ich bei der Abschlussprüfung dafür 0 Punkte/Bewertungseinheiten bekäme. Leider konnte ich das Thema bis heute noch nicht wieder ansprechen.

Kann ich das wirklich nicht so "Zeigen"? Also die Lösung passt, aber mein Rechenweg soll unschlüssig sein.

Ich bitte mal um eure Meinung!

LG

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Hi, schlüssig ist das schon, mir würde eher das Ergebnis fehlen, nämlich dass die von \(k\) unabhängigen Punkte  \((0|0)\) und \((1|0)\) auf allen Graphen von \(f_k\) liegen und es auch keine weiteren gibt. Vielleicht war dir das ohnehin klar, aber man muss in der Argumentation auch irgendwann die Ernte einfahren. Vielleicht hat deine Lehrerin dies gemeint. Wenn du noch Gelegenheit dazu bekommst, besprich das doch einfach mit ihr!

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Es geht übrigens wesentlich schneller:  Die einzigen Lösungen von \(f_1(x)=f_0(x)\) sind \(0\) und \(1\) und die entsprechenden \(f_k(x)\) sind unabhängig von \(k\). Das ist alles!

Answer 1

Hi Simon,

eher hätte die Lehrerin 0 Punkte für so eine Bemerkung verdient. Der Weg ist überhaupt nicht unschlüssig ok an der einen oder anderen stelle könnte man noch mehr Kommentare hinschreiben (zum Beispiel, dass du da wo du durch x^2 geteilt hast sagst, dass ab dieser Stelle x ungleich 0 ist, und den Rechtspfeil weglässt). aber auf der anderen Seite ist der Weg vollkommen nachvollziehbar.

Immerhin zeigst du, dass für 2 beliebige Funktionen der Schar sich immer die selben Schnittpunkte unabhängig vom Parameter ergeben. Weitere gemeinsame Punkte kann man nach diesem Rechenweg ebenfalls ausschließen.

Gruß

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Puhh....da bin ich ja beruhigt :P

Answer 2

fk(x) = x^4 + (k - 1)·x^3 - k·x^2

Gemeinsame Punkte

fa(x) = fb(x)

x^4 + (a - 1)·x^3 - a·x^2 = x^4 + (b - 1)·x^3 - b·x^2

x^2·(x^2 + (a - 1)·x - a) = x^2·(x^2 + (b - 1)·x - b)

Für x = 0 also auf jeden Fall erfüllt

x^2 + (a - 1)·x - a = x^2 + (b - 1)·x - b

(a - 1)·x - a = (b - 1)·x - b

a·x - x - a = b·x - x - b

a·x - b·x = a - b

x·(a - b) = a - b

Durch (a - b) teilen da ungleich null

x = 1

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Ich sehe gerade,dass du das genau so gemacht hast. das ist auf jeden Fall nochvollziehbar. Ich wüsste nicht was daran verkehrt sein sollte.

Zum Schluß solltest du jetzt noch 0 und 1 in fk(x) einsetzen um die y-Koordinaten zu bekommen

fk(0) = 0^4 + (k - 1)·0^3 - k·0^2 = 0

fk(1) = 1^4 + (k - 1)·1^3 - k·1^2 = 1 + k - 1 - k = 0

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Vielleicht soll das der richtige Weg sein. Ich werde deine Antwort mal auf meinem Blatt notieren.

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Hallo Simon,

Dein Weg zu zeigen, wird eher bis Klasse 10 akzeptiert.

Solltest Du Abiturient sein, so wird die Berechnung von x erwartet.

Außerdem x=0 und anschschließend dividierst Du durch x ... ???

Besser: Satz vom Nullprodukt anwenden ...

LG B.

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Hallo Gasthj212,

Solltest Du Abiturient sein, so wird die Berechnung von x erwartet.

Außerdem x=0 und anschschließend dividierst Du durch x ... ???

Wie hätte ich es denn vermerken sollen, dass für x=0 meine Gleichung stimmt?

Das im Folgende x≠0 gilt, weil x=0 bereits mein erster Punkte ist und somit x nicht mehr 0 sein darf??

LG

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Bringe alles auf eine Seite.

0 = x^2 * ( ....)

Jetzt Satz vom Nullprodukt anwenden ...

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(k1-1)x³-k1x²=(k2-1)x³-k2x²

(k1-1)x³-(k2-1)x³-k1x²+k2x²=0

So sollte es aussehen?

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Ja. Ich würde aber lieber die Variablen a und b nehmen statt k1 und k2, ist übersichtlicher.

Jetzt x^2 ausklammern. (Oder x*x ausklammern, geht auch.)

Answer 3

Wie wärs denn mit Differenzialrechnung? Ich führe eine implizite, ansonsten aber beliebige Abhängigkeit ein

x := x ( k )    ( 1 )

eine Idee, auf die noch niemand von euch verfallen ist - hab ich noch nie gesehen.

y := x ⁴ + ( k - 1 ) x ³ - k x ²   ( 2 )

wie machst du übrigens diesen edlen Exponenten " hoch 4 " ? Implizites Differenzieren nach k

( dy/dk ) = 4 x ³ ( dx/dk ) + x ³ + 3 ( k - 1 ) x ² ( dx/dk ) - x ² - 2 k x ( dx/dk )   ( 3a )

Wir suchen ganz allgemein lokal stationäre Punkte ( notwendige Bedingung für Fixpunkt )

( dx/dk ) = ( dy/dk ) = 0    ( 3b )

x ³ - x ² = 0  ===> x1;2 = 0 ; x3 = 1  ( 4 )

Die aussage wird also dahin gehend verschärft, dass in ( 1 ) gelten muss

x ( k ) = const    ( 5 )

Hinreichende Bedingung: Probe in ( 2 ) ; Lösung in beiden Fällen y = 0