Bestimmen Sie abhängig von k ∈ ℝ den Rang der Matrix. Finden Sie für k=0 eine Basis und die Dimension des Unterraums …

Question

Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie abhängig von \( k \in \mathbb{R} \) den Rang der Matrix

\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & k-5 & 1 \end{array}\right) \)

(b) Finden Sie für \( k=0 \) eine Basis und die Dimension des Unterraums aller Lösungen des Gleichungssystems

\( A\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)

Comments

a) Du bekommst in zwei Schritten (Gauß-Verfahren) Zeilenstufenform, ob Du dich mit was auch immer auskennst oder nicht, spielt keine große Rolle.

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alles klar - also bekomm ich für mit zeilenumformung dann
  
1    2    -3     0
0   -1    1      1
0    0   k-2    0  

also is der Rang für k = 2 .. gleich 2
und für k ≠ 2  ist der Rang 3 

ist das korrekt ?

Answer 1

wenn k=0 ist, fällt ja die letzte Zeile ganz weg und es bleibt

x1 + 2x2 - 2x3 = 0     und   - x2  - x3 + x4 = 0

also kannst du schon mal x3 und x4 beliebig wählen

x3=s und x4=t   und hast  - x2 = s - t

in die erste eingesetzt:

x1 + 2 ( s-t) - 2s = 0

x1 = 2t  also insgesamt Lösungen  (  2t ;  s-t ; s ; t ) für alle s,t aus R.

= t*(2;-1;0;1)  + s*(0;1;1;0)

und damit bildenn   (2;-1;0;1)  und (0;1;1;0) eine Basis des Lösungsraumes,

also dim=2

Comments

danke vielmals ... jetzt versteh ichs !

hast aber glaub ich beim einsetzen von -x2 = s - t in die erste gleichung nen vorzeichenfehler 

würde dann x1 + 2(t-s) - 2s = 0 reinkommen ... aber vom Prinzip hab ichs kappiert .
Danke !