Matrix : Rang ,Dimension,Lösungsschar.

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung gegeben :

Ich habe mir zuerst die Determinante errechnet die ist aber 0. DH das mindestens 1 Vektor sich durch eine Linearkombination eines anderen darstellen lässt . Ich muss die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren bestimmen um den Rang zu erhalten .Und damit kann ich weitere Schritte einleiten. Kann mir jemand zeigen wie das geht ?

Bitte ,danke !

Answer 1

der Lösungsvektor sei (x,y,z,w)

du kannst mit dem Gaußalgorithmus unter der Hauptdiagonale Nullen "produzieren":

1,  -4,   2,   0

0,   1,  -1,  -1

0,   0,   0,   0

0,   0,   0,   0

Rang = 4 - Anzahl der Zeilen mit lauter Nullen = 2

→  dim = 2

Jetzt setzt du die Unbekannten z und w aus den Nullzeilen variabel und berechnest in Abhängigkeit von diesen y und dann x aus den Zeilen 1 und 2.

Mit beliebigen z,w lautet die allgemeine Lösung:

( -2z+4w , z+w , z , w )

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo danke für die Antwort,

Mit der Hauptdiagonale meinst du die diagonale von dem alement a11 bis zu a44 ?

Würde es dann nicht möglich sein 3 Zeilen mit lauter nullen zu prodzuieren? Weil es eine 4x4 Matrix ist und 3 Zeilen unter der HD sind?

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1) ja

2) wenn die Dimension des Lösungsraums 3 wäre, ja. Hier ist sie aber 2, was du genau daran erkennst, dass keine 3 Nullzeilen gibt :-)

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Ich hatte an das element a12 gedacht das liegt ebenso noch unter der HD. Wenn sich aber keine weitere 0 Zeile mehr bilden lässt ist das klar :)

Wie ergibt sich das die diemension der Lösungsschar 2 ist ? Ist das der Fall :Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix =Rang Koeffizientenmatrix . Dann gilt Anzahl spalten - Rang KoeffizientenMatrix = 4-2 =2 ?

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dim = n - Rang  (bei nxn-Matrix)

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ok .

Und den letzen Schritt " Jetzt setzt du die Unbekannten z und w aus den Nullzeilen variabel und berechnest in Abhängigkeit von diesen y und dann x aus den Zeilen 1 und 2." Wie meinst du das genau? Ich versteh das nicht ganz ^^

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Bei den unendlich vielen Lösungsvektoren kann man die 3. und die 4. Koordinate beliebig wählen: z,w

die 1. und die 2. Koordinaten lassen sich dann aus diesen beiden berechnen.

L = { (x,y,z,w} | z, w ∈ ℝ und x = -2z+ 4w und y = z+w }

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Ah ok !

Bei y wurde da die 2 Zeile hergenommen und y -z -w=0 => y=z+w gerechnet?

Bei x dann : x -4(z+w) +2z =0 => x=2z +4w ? da hab ich bei z ein plus statt einem minus . Oder hab ich mich da wo vertan?

Answer 2

Ich gebs ja zu; ich bin ein böser Bubi. ich hab bei Wolfram gespickt.






           x  -  4  y  +  2  z              =  0              (  1a  )

       2  x  -  3  y  -       z  -  5  w  =  0              (  1b  )

       3  x  -  7  y  +      z  -  5  w  =  0              (  1c  )

                     y   -       z  -     w   =  0              (  1d  )




     Jetzt greife ich ganz tief in die Trickkiste und setze sang-und klanglos x = 0 . Damit ihr die ganzen Umformungsschritte nachvollziehen könnt, behalte ich die Gleichungsnummern ( a-d ) bei.




                 z  =  2  y       (  2a  )

                 w  =  -  y        (  2d  )




    Aber in ( 1bc )  kommt es zum Schwur; ( 2ad ) einsetzen



           (  -  3  -  2  +  5  )  y  =  0              (  2b  )

            (  -  7  +  2  +  5  )  y  =  0          (  2c  )




     Die Pointe: die Klammer in ( 2bc ) muss verschwinden; sonst würde der Ansatz x = 0 nur auf einen trivialen Kernvektor führen.   Wir finden den Kernvektor




     v1  =  (  0  |  1  |  2  |  -  1  )       (  3  )




     Jetzt wiederhole ich mein Erfolgserlebnis; in ( 1a-d ) setze ich w = 0 und suche den zweiten Kernvektor.




               z  =  y        (  4d  )

              x  =  2  y     (  4a  )

         v2  =  (  2  |  1  |  1  |  0  )     (  5  )




      Jetzt verbleibt uns aber noch die Suche nach dem ominösen ===> Transpluto, dem dritten Kernvektor v3 . Den kann es aber nicht geben; denn oBdA müste der erfüllen




             x  (  v3  )  =  0     (  6a  )


 

     womit er uns ja bereits in ( 2a-d ) ins Netz gegangen wäre. Wie das? Beweis durch Widerspruch. Sei also



         x  (  v3  )  >  0     (  6b  )



      Dann gibt es aber, siehe ( 5 ) , eine geeignete Linearkombination



          v3  '  :=  ß2  v2  +  ß3  v3        (  6c  )



    welche Bedingung ( 6a ) erfüllt - Aufgabe gelöst.