Integralrechnung, Flächenbegrenzung

Question

Ich habe den Graphen y= f(X)= -2x^2+4x und den Graphen y=g(x)= -x^3+3x2

Die Aufgabe b) lautet: begrenzt von den Graphen f und g und der X-Achse. Berechne den Flächeninhalt

Wie muss ich da vorgehen? Ich dachte, ich muss Integral von 3 bis vier (obere minus die untere Kurve)  berechnen, aber in den Lösungen steht etwas anderes.

Comments

= kleine Verbesserung: -x^3 +3x^2

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~plot~-2x^2+4x;-x^3+3x^2~plot~

Auf welchem Intervall?

Answer 1

Am besten ist es, wenn man die Graphen bei solchen Aufgaben sich einmal zeichnen lässt:

~plot~-2x^2+4x;-x^3+3x^2~plot~

Hier siehst du, dass die gesuchte Fläche das Stück im Intervall [0,2] ist.

Reicht dir das bereits als Hilfe?

EDIT:
Noch ein TIPP:

Kann man z.B. so berechnen: Integral, des roten Graphes von 0 bis SCHNITTPUNKT + Integral von blau von SCHNITTPUNKT bis 2.

Comments

Ich habe einen Fehler gemacht, der Graph heißt -x^2+4x!

Ich verstehe nicht, welche Fläche gemeint ist, das ist mein Problem. Sonst weiß ich, wie ich das berechnen soll. Muss ich bei solchen Aufgaben den Schnittpunkt der zwei Graphen berechnen?

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~plot~-x^2+4x;-x^3+3x^2~plot~

Tja, ganz klar ist das für mich auch nicht. Vielleicht der Streifen zwischen 2 und 4. Der Wird von den beiden Graphen und der x-Achse eingegrenzt. Sonst weiß ich es auch nicht.

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~plot~-x^2+4x;-x^3+3x^2~plot~

Dann nochmal:

In dem Fall wird dann wohl die Fläche des roten Graphens gemeint sein im Intervall 0-3.Finde ich aber etwas komisch. Sicher,dass jetzt beide Funktionen richtig angegeben sind?

Was sagt denn deine Musterlösung.

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Sollte die letzte Funktionsangabe richtig sein dann sind
2 Schnittpunkt vorhanden x = 0 und x = 2.

Nur zwischen diesen beiden Punkten liegt eine
endliche, abgeschlossene Fläche.

Integral ( blau minus rot ) zwischen 0 und 2
= 4/3

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Ja, die Funktionen sind richtig angegeben.  Die Musterlösung lautet: Integral von 2 bis 4 von f(x) - Integral von 2 bis 3 von Funktion g(x).

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Wie muss ich bei solchen Aufgaben vorgehen, einfach den Schnittpunkt berechnen und obere kurve minus untere? Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, welche Fläche gemeint ist?

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Ja wie ich dachte, der streifen zwischen 2 und 4. Genau richtig. Die obere Kurve integrieren und die untere Kurve integrieren und dann die beiden voneinander abziehen. Die Grenzen sind hier tatsächlich nicht diesselben, weil g bei 3 schon die Nullstelle hat.

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Muss ich dann vom Schnittpunkt x=2 ausgehen und die Nullstellen betrachten?

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Ich denke die Nullstellen sind klar (3 und 4) und der Schnittpunkt auch (x=2). Du integrierst also wie vorgeschlagen die untere Funktion zwischen 2 und 3 und die obere zwischen 2 und 4 und ziehst dann die untere von der oberen ab.

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Aufgabenstellung
Die Aufgabe b) lautet: begrenzt von den Graphen
f und g und der X-Achse. Berechne den Flächeninhalt 

Also
f zwischen 0 und 4
minus
g zwischen 0 und 3

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Also vielleicht sind die beiden orangenen Flächen gemeint.

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Dies ist auch meine Meinung.

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Super, dann haben wir ja jetzt die Aufgabenstellung geklärt...:-)

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"Die Musterlösung lautet: Integral von 2 bis 4 von f(x) - Integral von 2 bis 3 von Funktion g(x)."

In der Lösung ist aber nur der rechte Streifen gemeint.

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@Marvin: Stimmt! Streng genommen ist der rechte Streifen auch die einzige Fläche, die von beiden Graphen UND der x-Achse begrenzt wird.

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Wir wollen das nicht absolut vertiefen.
Die Beschreibung kann man auch anders verstehen.
mfg Georg