A(n): ∑ 1/3^j = 1/18 - 1/2*(1/3)^n
Summe j=3 bis n.
a) \( \sum \limits_{i=3}^{n} \frac{1}{3^{j}}=\frac{1}{18}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \)
Behauptung: \( A(n) \in N \geq 3 \)
lnduktionsanfang: \( A(3) \) ist wahr
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{j=3}^{3} \frac{1}{3^{j}}=\frac{1}{18}-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \\ \sum \limits_{j=3}^{3} \frac{1}{3^{5}} \approx 0,0370 \end{array} \)
Induktionsschritt: \( A(k) \rightarrow A(k+1) \)
Induktionsvoraussetzung: \( \sum \limits_{j=3}^{k} \frac{1}{3^{5}}=\frac{1}{18}-\left(\frac{1}{2}\right) \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{k} \)
Induktionsbehauptung: \( \sum \limits_{j=3}^{k+1} \frac{1}{3^{j}}=\frac{1}{18}-\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{3}\right)^{k+1} \)
Beweis:
\( \sum \limits_{j=3}^{k-1} \frac{1}{3^{j}}=\sum \limits_{j=3}^{k} \frac{1}{3^{j}}+\frac{1}{3^{(k+1)}} \)
\( =\frac{1}{18} - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{k} + \frac{1}{3^{k+1}} \)
Ansatz/Problem:
Wie komme ich nun von der Zeile beim Beweis zurück zur Induktionsbehauptung?
